Question

如图，在半径为3厘米的⊙O中，A，B，C三点在圆上，∠BAC=75°，点P从点B开始以厘米/秒的速度在劣弧BC上运动，且运动时间为t（秒），∠AOB=90°、∠BOP=n°．
（1）∠BOC=______ 度，求n与t之间的函数关系式，并求t的取值范围；
（2）试探究当点P运动多少秒时：
①四边形PBAC为等腰梯形，并说明其理由；
②以P，B，A，C四点中的三点为顶点的三角形是等腰三角形．

Answer

（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质求出∠BOP即可，再利用弧长公式求出n与t的关系即可；
（2）①当BP∥AC时，以及当PC∥AB时，分别利用等腰梯形的性质求出即可；
②以AB为腰时，以AB为底边时，再利用在△APC中，∠APC=60°，△APC是等边三角形和在△BPC中，∠BPC=105°，只有BP=PC这种情况，分别求出即可．
【解析】
（1）∵∠AOB=90°，∴∠BAO=45°，
∵∠BAC=75°，∴∠CAO=30°，
∵AO=CO，
∴∠CAO=∠OCA=30°，
∴∠AOC=180°-30°-30°=120°，
∴∠BOP=360°-90°-120°=150°，
∵∠BOP=n°，则t=，整理得出：n=12t，
当n=150°时，150°=12t，t=12.5，故0≤t≤12.5．

（2）①∠BOP=n°，n=12t．
如图1，当BP∥AC时，t=5秒，四边形PBAC为等腰梯形．
理由：∵∠PBA=180°-75°=105°，
∵∠OBA=45°∴∠OBP=60°，OB=OP，
∴∠BOP=60°，则60=12t，
解得：t=5（秒），
又∵∠AOP=150°，∠ACP=75°，∴AB 与PC不平行．
又∵∠POC=150°-60°=90°=∠AOB，
∴AB=PC，∴四边形PBAC为等腰梯形．
如图2，当PC∥AB时，n=120=12t，解得：t=10（秒）
理由：∵∠CPB=180°-75°=105°，
∵∠OBA=45°，∴∠OBP=30°，OB=OP，
∴∠BOP=120°，则120=12t，
解得：t=10（秒），
又∵∠ACP=180°-75°=105°，∠BPC=105°，∴PB与AC不平行．
又∵∠POB=120°=∠AOC，
∴PB=AC，∴四边形PBAC为等腰梯形．
②在△ABP中，以AB为腰时（如图3），
∵∠BPA=∠BAP=45°，
∴∠BOP=45°+45°=90°，
故n=90=12t，解得：t=7.5（秒），
以AB为底边时（如图4），
∵∠BPA=∠BOA=45°，∴∠BAP=67.5°，∴∠BOP=2×67.5°，
故135=12t，
解得：t=11.25（秒）．
如图5．在△APC中，∠APC=60°，△APC是等边三角形，
∴∠BAP=15°，∠BOP=30°，
故30=12t，解得：t=2.5（秒）．
如图6，在△BPC中，∠BPC=105°，只有BP=PC这种情况，
此时P是弧BC的中点，或说AP是∠BAC的平分线，
∠BOP=75°，
故n=75=12t，
解得：t=6.25（秒）．
综合上述：当点P运动时间为5，10秒，四边形ABPC为等腰梯形；
当点P运动时间为7.5，11.25秒，三角形ABP为等腰三角形；
当点P运动时间为2.5秒，三角形APC为正三角形；
当点P运动时间为6.25秒，三角形BPC为等腰三角形．