Question

如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax²+bx+c的图象经过点A（3，0），B（-1，0），C（0，-3），顶点为D．
（1）求这个二次函数的解析式及顶点坐标；
（2）在y轴上找一点P（点P与点C不重合），使得∠APD=90°，求点P坐标；
（3）在（2）的条件下，将△APD沿直线AD翻折，得到△AQD，求点Q坐标．

Answer

（1）将A、B、C三点坐标代入y=ax2+bx+c中，列方程组求a、b、c的值，得出二次函数解析式，根据顶点坐标公式求顶点坐标；
（2）设P（0，m），由勾股定理分别表示PA，PD，AD的长，由于∠APD=90°，在Rt△PAD中，由勾股定理列方程求m的值即可；
（3）作QH⊥x轴，垂足为点H，由勾股定理求出PA=PD=，又∠PAQ=90°，可证△PAD为等腰直角三角形，由翻折的性质可知四边形APDQ为正方形，得出△AOP≌△AHQ，利用线段相等关系求Q点坐标．
【解析】
（1）由题意，得，…（1分）
解得…（1分）
所以这个二次函数的解析式为y=x2-2x-3…（1分）
顶点D的坐标为（1，-4）…（1分）
（2）解法一：设P（0，m）
由题意，得PA=，PD=，AD=2…（1分）
∵∠APD=90°，∴PA2+PD2=AD2，即（）2+（）2=（2）2…（1分）
解得m1=-1，m2=-3（不合题意，舍去）…（1分）
∴P（0，-1）…（1分）

解法二：
如图，作DE⊥y轴，垂足为点E，
则由题意，得  DE=1，OE=4…（1分）
由∠APD=90°，得∠APO+∠DPE=90°，
由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OAP=∠EPD
又∠AOP=∠OED=90°，
∴△OAP∽△EPD
∴…（1分）
设OP=m，PE=4-m
则，解得m1=1，m2=3（不合题意，舍去）…（1分）
∴P（0，-1）…（1分）

（3）解法一：
如图，作QH⊥x轴，垂足为点H，易得PA=AQ=PD=QD=，∠PAQ=90°，
∴四边形APDQ为正方形，…（1分）
由∠QAP=90°，得∠HAQ+∠OAP=90°，由∠AOP=90°，得∠APO+∠OAP=90°，
∴∠OPA=∠HAQ，又∠AOP=∠AHQ=90°，PA=QA
∴△AOP≌△AHQ，∴AH=OP=1，QH=OA=3…（2分）
∴Q（4，-3）…（1分）
解法二：
设Q（m，n）…（1分）
则AQ==，QD==…（1分）
解得，（不合题意，舍去）…（1分）
∴Q（4，-3）…（1分）