Question

如图，已知正方形ABCD中，点E、F分别为AB、BC的中点，点M在线段BF上（不与点B重合），连接EM，将线段EM绕点M顺时针旋转90°得MN，连接FN．
（1）特别地，当点M为线段BF的中点时，通过观察、测量、推理等，
猜想：∠NFC=______°，=______

Answer

（1）过点N作NQ⊥BC于Q，由条件可以证明△EBM≌△MQN，可以得出BE=MQ，BM=NQ，由四边形ABCD是正方形，就有AB=BC，由点E、F分别为AB、BC的中点，就有BE=BF，由点M为线段BF的中点，就有MF=MB=BE=MQ，有NQ=MQ，有FQ=NQ，得出∠NFC=45°；由勾股定理可以求出NF=NQ，得出NF=BM，就可以求出其结果．
（2）仍然成立．过点N作NP⊥BC于P，先由条件证明△EBM≌△MPN，得出BM=PN，EB=MP，从而证明PN=FP，从而可以得出结论∠NFC=45°，=．
（3）由（2）得∠NFC=45°，可知△FCG是等腰直角三角形，就有FC=GC，FG=FC=BF，又由（2）得NF=BM，就有NG=FG-NF=BF-BM=MF，即．
（1）【解析】
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠B=90°，
∵点E、F分别为AB、BC的中点，
∴BE=AB，BF=BC，

∴BE=BF，
∵∠EMN=90°，
∴∠EMB+∠NMQ=90°，
∵∠BEM+∠EMB=90°，
∴∠BEM=∠NMQ．
过点N作NQ⊥BC于Q，
∴∠NQM=90°，
∴∠NQM=∠EMN，
∴△EBM≌△MQN（ASA），
∴BE=MQ，BM=NQ，
∵点M为线段BF的中点，
∴MF=MB=BE=MQ=FQ，
∴FQ=NQ．
∴∠NFC=45°．
∴NF=FP=BM，即．
故答案为：45°，．
（2）答：仍然成立
证明：过点N作NP⊥BC于P，∴∠B=∠MPN=90°
∵∠BME+∠BEM=90°，∠BME+∠NMP=90°
∴∠BEM=∠NMP
∵EM=MN，
∴△EBM≌△MPN（AAS），
∴BM=PN，EB=MP
∵BF=EB，
∴BF=MP．
∴BM=FP．
∴PN=FP．
∴∠NFP=45°．

∴NF=FP=BM，即．
（3）【解析】
由（2）得∠NFC=45°，
∴△FCG是等腰直角三角形
∴FC=GC，FG=FC=BF，
又由（2）得NF=BM，
故NG=FG-NF=BF-BM=MF，即．