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如图,在平面直角坐标系中,点A(manfen5.com 满分网,0),B(3manfen5.com 满分网,2),C(0,2).动点D以每秒1个单位的速度从点O出发沿OC向终点C运动,同时动点E以每秒2个单位的速度从点A出发沿AB向终点B运动.过点E作EF上AB,交BC于点F,连接DA、DF.设运动时间为t秒.
(1)求∠ABC的度数;
(2)当t为何值时,AB∥DF;
(3)设四边形AEFD的面积为S.①求S关于t的函数关系式;
②若一抛物线y=-x2+mx经过动点E,当S<2manfen5.com 满分网时,求m的取值范围(写出答案即可).

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(1)求∠ABC的度数即求∠BAx的度数,过B作BM⊥x轴于M,则AM=2,BM=2,由此可得出∠BAM即∠ABC的度数. (2)当AB∥FD时,∠CFD=∠B=30°,可在直角三角形CDF中,用CD的长表示出CF,同理可在直角三角形FEB中,用BE的长表示出BF,然后可根据CF+BF=BC来求出t的值. (3)①连接DE,根据D、E的速度可知AE=2OD,而AE=2EG,因此OD∥=EG,即四边形ODEG是矩形,因此DE∥x轴,那么四边形AEFD的面积可分成三角形ADE和三角形EFD两部分来求出.两三角形都以DE为底,两三角形高的和正好是OC的长,因此四边形ADEF的面积就等于DE•OC,关键是求出DE的长.如果过A作DE的垂线不难得出DE=OA+AE•sin60°,由此可得出S,t的函数关系式. ②已知了S的取值范围可根据①的函数关系式求出t的取值范围.在①题已经求得了E点坐标,将其代入抛物线的解析式中,用m表示出t的值,然后根据t的取值范围即可求出m的取值范围. 【解析】 (1)过点B作BM⊥x轴于点M ∵C(0,2),B(3,2) ∴BC∥OA ∴∠ABC=∠BAM ∵BM=2,AM=2 ∴tan∠BAM= ∴∠ABC=∠BAM=30°. (2)∵AB∥DF ∴∠CFD=∠CBA=30° 在Rt△DCF中,CD=2-t,∠CFD=30°, ∴CF=(2-t) ∴AB=4, ∴BE=4-2t,∠FBE=30°, ∴BF= ∴(2-t)+=, ∴t=. (3)①过点E作EG⊥x轴于点G, 则EG=t,OG=+t ∴E(+t,t) ∴DE∥x轴 S=S△DEF+S△DEA=DE×CD+DE×OD =×OC=×()×2 =+t. ②当S时, 由①可知,S=+t ∴t+<2, ∴t<1, ∵t>0, ∴0<t<1, ∵y=-x2+mx,点E(+t,t)在抛物线上, 当t=0时,E(,0), ∴m=, 当t=1时,E(2,), ∴m=, ∴<m<.
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考点分析:
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(1)求证:①△AEF≌△BEC;②四边形BCFD是平行四边形;
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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