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如图,已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2...

如图,已知二次函数y=-x2+mx+4m的图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点(B点在A点的右边),与y轴的正半轴交于点C,且(x1+x2)-x1x2=10.
(1)求此二次函数的解析式.
(2)写出B,C两点的坐标及抛物线顶点M的坐标;
(3)连接BM,动点P在线段BM上运动(不含端点B,M),过点P作x轴的垂线,垂足为H,设OH的长度为t,四边形PCOH的面积为S.请探究:四边形PCOH的面积S有无最大值?如果有,请求出这个最大值;如果没有,请说明理由.

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(1)由根与系数的关系,得到x1和x2的关系式进而求出m的值,所以可求此二次函数的解析式; (2)令y=0解一元二次方程,可求出B,C两点的坐标;把二次函数的解析式为y=-x2+2x+8配方化为顶点式可求出顶点M的坐标; (3)过M作MN⊥x轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3,再由PH∥MN,可求得PH=3BH=3(4-t),所以S=-t2+10t=-(t-)2+可求出四边形PCOH的面积S最大值. 【解析】 (1)由根与系数的关系,得 ∵(x1+x2)-x1x2=10, ∴m+4m=10,m=2. ∴二次函数的解析式为y=-x2+2x+8. (2)由-x2+2x+8=0,解得x1=-2,x2=4. y=-x2+2x+8=-(x-1)2+9. ∴B,C,M的坐标分别为B(4,0),C(0,8),M(1,9). (3)如图,过M作MN⊥x轴于N,则ON=1,MN=9,OB=4,BN=3. ∵OH=t(1<t<4),∴BH=4-t. 由PH∥MN,可求得PH=3BH=3(4-t), ∴S=(PH+CO)•OH =(12-3t+8)t =-t2+10t(1<t<4). S=-t2+10t=-(t-)2+. ∵1<<4. ∴当t=时,S有最大值,其最大值为.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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