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如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A(0,4),交x轴...

如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交y轴于A(0,4),交x轴于B、C两点(点B在点C的左侧).B、C两点坐标分别为(3,0),(8,0).
(1)求此抛物线的解析式;
(2)过点B作线段AB的垂线交抛物线于点D,如果以点C为圆心的圆与直线BD相切,请判断抛物线的对称轴l与⊙C有怎样的位置关系,并给出证明;
(3)已知点P是抛物线上的一个动点,点Q是对称轴l上的一动点,是否存在以P、Q、B、C为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)利用待定系数法求函数的解析式即可; (2)已知∠ABD是直角,若连接圆心和切点(暂定为E),不难看出Rt△OAB、Rt△EBC相似(或全等),可据此求出⊙C的半径,再将该半径与点C到对称轴l的距离进行比较即可; (3)此题应分两种情况讨论: ①BC为平行四边形的边;那么将点Q向左或向右平移BC长,即可得到点P的横坐标,再代入抛物线的解析式中求解即可; ②BC为平行四边形的对角线;根据平行四边形的中心对称性,点P必在抛物线的对称轴上,显然只有抛物线的顶点符合点P的要求. 【解析】 (1)根据题意,可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+4,根据题意,得: , 解得. 故抛物线的解析式为y=x2-x+4; (2)设⊙C与BD相切于点E,连接CE,则∠BEC=∠AOB=90°. ∵A(0,4)、B(3,0)、C(8,0), ∴OA=4,OB=3,OC=8,BC=5; ∴AB==5, ∴AB=BC. ∵AB⊥BD, ∴∠ABC=∠EBC+90°=∠OAB+90°, ∴∠EBC=∠OAB, ∴, ∴△OAB≌△EBC, ∴OB=EC=3. 设抛物线对称轴交x轴于F. ∵x=-=-=, ∴F(,0), ∴CF=8-=<3, ∴对称轴l与⊙C相交; (3)由(2)知:抛物线的对称轴为x=,设Q(,yQ),已知BC=5,则有: ①若BC为边,则:P(+5,yP)或(-5,yP),代入抛物线的解析式中,可得: P1(,)、P2(,); ②若BC为对角线,则点P必在抛物线对称轴上,即此时点P是抛物线的顶点(,-). 综上,存在符合条件的点P,坐标为(,)或(,)或(,-).
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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