Question

如图，已知正方形ABCD的边长为8，以AB为直径的⊙O交对角线AC于点F，点E在⊙O上（E，F分别在直径AB的两侧）．
（1）求∠AEF的度数；
（2）若AE=7，求∠AFE的正弦值；
（3）求图中阴影部分的面积．

Answer

（1）首先连接BF，易得即点F是对角线AC与BD的交点，即可得∠ABF=45°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可求得∠AEF的度数；
（2）首先连接BE，由AB是直径，即可得∠AEB=90°，然后在Rt△ABE中，由三角函数的定义，即可求得∠ABE的正弦值，继而求得∠AFE的正弦值；
（3）连接OF，由S阴影=S梯形OBCF-S扇形BOF，即可求得答案．
【解析】
（1）连接BF，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠AFB=90°，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∴点B，F，D共线，
即点F是对角线AC与BD的交点，
∴∠ABF=45°，
∴∠AEF=∠ABF=45°；                                           

（2）连接BE，
∵AB是直径，
∴∠AEB=90°，
∵AB=8，AE=7，
∴sin∠ABE==，
∵∠ABE=∠AFE，
∴∠AFE的正弦值为；                                             

（3）连接OF，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AF=BF，
∵OA=OB，
∴OF⊥AB，
即∠BOF=90°，
∴S阴影=S梯形OBCF-S扇形BOF=×（OF+BC）×OB-π×（OB）2=×（4+8）×4-×π×16=24-4π．
∴阴影部分的面积为24-4π．