Question

如图，AB是⊙O的直径，AD是弦，过圆上的点D作直线CD，且∠CDA=∠B．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）作AT⊥CD于点T，若AB=5AT，求sinB的值．

Answer

（1）连接OD，要证明CD是⊙O的切线，只要证明DC⊥OD即可，即转化为证明∠CD0=90°；
（2）利用已知条件证明△ATD∽△ADB，利用相似三角形的性质：对应边的比值相等可得到AD和AT的数量关系，进而求出sinB的值．
（1）证明：连接OD，
∵OD=OA，
∠1=∠2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠1+∠B=90°，
∵∠CDA=∠B，
∴∠2+∠CDA=90°，
即DC⊥OD，
∴CD是⊙O的切线；
（2）∵AT⊥CD于点T，
∵∠ATD=90°
由（1）得：∠ADB=90°，
∴∠ATD=∠ADB，
∵∠CDA=∠B，
∴△ATD∽△ADB，
∴，
∴AD2=AT•AB，
又∵AB=5AT，
∴5AT2=AD2，
∴AD=AT，
在Rt△ADB中，sinB===．