Question

已知关于x的方程 mx²+（3m+1）x+3=0．
（1）求证：不论m为任何实数，此方程总有实数根；
（2）若抛物线y=mx²+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，试确定此抛物线的解析式；
（3）若点P（x₁，y₁）与Q（x₁+n，y₂）在（2）中抛物线上 （点P、Q不重合），且y₁=y₂，求代数式的值．

Answer

（1）分别讨论当m=0和m≠0的两种情况，分别对一元一次方程和一元二次方程的根进行判断；
（2）令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0，求出两根，再根据抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，求出m的值；
（3）点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，求出y1和y2，y1和y2相等，求出 n（2x1+n+4）=0，然后整体代入求出代数式的值．
【解析】
（1）当m=0时，原方程化为x+3=0，此时方程有实数根 x=-3．
当m≠0时，原方程为一元二次方程．
∵△=（3m+1）2-12m=9m2-6m+1=（3m-1）2≥0．
∴此时方程有两个实数根．
综上，不论m为任何实数时，方程 mx2+（3m+1）x+3=0总有实数根．

（2）∵令y=0，则 mx2+（3m+1）x+3=0．
解得 x1=-3，．
∵抛物线y=mx2+（3m+1）x+3与x轴交于两个不同的整数点，且m为正整数，
∴m=1．
∴抛物线的解析式为y=x2+4x+3．

（3）∵点P（x1，y1）与Q（x1+n，y2）在抛物线上，
∴．
∵y1=y2，
∴．
可得 ．
即  n（2x1+n+4）=0．
∵点P，Q不重合，
∴n≠0．
∴2x1=-n-4．
∴=（n+4）2+6n（-n-4）+5n2+16n+8=24．