Question

如图，在平面直角坐标系中，点0是坐标原点，直线y=与x轴、y轴的交点分别为A、B，过点0作OD⊥AB，垂足为D．

（1）求直线OD的解析式；
（2）点P从点A出发，沿射线AB以每秒个单位长度的速度匀速运动，过点P作x轴的垂线，垂足为点Q．设线段0Q的长为d（d＞0），点P的运动时间为t（秒），求d与t的函数关系式（直接写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，连接OP，是否存在t的值，使OP²=BP•AP？若存在，求出t的值，同时通过计算推理判断，此时以为半径的⊙D与直线OP的位置关系；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）过点D作DC⊥OA于C，由直线y=-x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，可求得A（10，0），B（0，5），又由OD⊥AB，利用直角三角形的面积公式，即可求得OD的长，利用三角函数的知识即可求得点D的坐标，然后利用待定系数法求得直线OD的解析式；
（2）易得△APQ∽△QOB，然后根据相似三角形的对应边成比例，易求得AQ的值，然后分别从0＜t≤5与t＞5去分析求解，即可求得d与t的函数关系式；
（3）由OP2=OQ2+PQ2与OP2=BP•AP，分别从0＜t≤5与t＞5去求解，即可求得k的值；然后分别求k取不同值时，以为半径的⊙D与直线OP的位置关系．
【解析】
（1）过点D作DC⊥OA于C，
∵直线y=-x+5与x轴、y轴的交点分别为A、B，
∴A（10，0），B（0，5），
即OA=10，OB=5，
∴AB==5，
∴sin∠OAB==，cos∠OAB==，
∵OD⊥AB，
∴OD==2，
∵∠AOD+∠ODC=90°，∠AOD+∠OAB=90°，
∴∠ODC=∠OAB，
∴OC=OD•sin∠ODC=2×=2，CD=OD•cos∠ODC=2×=4，
∴点D的坐标为：（2，4），
设直线OD的解析式为：y=kx（k≠0），
则2k=4，
解得：k=2，
∴直线OD的解析式为：y=2x；

（2）∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△APQ∽△QOB，
∴AQ：AO=AP：AB，
∵AB=5，OA=10，OB=5，AP=t，
∴AQ：10=t：5，
∴AQ=2t，
当0＜t≤5时，d=OQ=OA-AQ=10-2t，
当t＞5时，d=OQ=AQ-OA=2t-10；
∴d与t的函数关系式为：d=；

（3）存在，理由如下：
∵PQ：OB=AP：AB，
∴PQ：5=t：5，
解得：PQ=t，
∴OP2=OQ2+PQ2，
∵OP2=BP•AP，
当0＜t≤5时，BP=AB-AP=5-t，OP2=（10-2t）2+t2=5t2-40t+100，
∴5t2-40t+100=（5-t）•t，
即2t2-13t+20=0，
解得：t=或t=4；
当t＞5时，BP=AP-AB=t-5，OP2=（2t-10）2+t2=5t2-40t+100，
∴5t2-40t+100=（t-5）•t，
即15t=100，
解得：t=；
综上，t的值为：或4或；
∵AD=OA•cos∠OAB=10×=4，OD=OA•sin∠OAB=10×=2，

①如图4，当t=时，过点D作DM⊥OP于M，
∵t=，
∴AP=，
∴DP=AD-AP=4-=，
∵OP2=5t2-40t+100=，
∴OP=，
∴DM===，
∴此时以为半径的⊙D与直线OP相切；
②如图5，当t=4时，AP=4=AD，
即点P与点D重合，
∴此时以为半径的⊙D与直线OP相交；
③如图6，当t=时，过点D作DN⊥OP于N，
∵t=，
∴AP=，
∵OP2=5t2-40t+100=，
∴OP=，
∴DP=AP-AD=-4=，
∴DM===＞，
∴此时以为半径的⊙D与直线OP相离．