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已知:菱形ABCD中,BD为对角线,|P、Q两点分别在AB、BD上,且满足∠PC...

已知:菱形ABCD中,BD为对角线,|P、Q两点分别在AB、BD上,且满足∠PCQ=∠ABD,
(1)如图1,当∠BAD=90°时,证明:manfen5.com 满分网DQ+BP=CD;
(2)如图2,当∠BAD=120°时,则______
(1)当∠BAD=90°时四边形ABCD是正方形,易证△APC∽△DQC,则可以得到AP=DQ,则可以证得; (2)作∠QCK=∠PCQ,过B作BL∥CK,连接AC,易证△DLB∽△DQC则DL=DQ,然后证明△ACP≌△DCK,即可证得; (3)设BC=5k,则MC=7k,过C作CG⊥AB于G,则∠CGB=90°,在直角△BCG中,利用三角函数求得BG,CG,然后在直角△MCG中,利用勾股定理求得MG的长,证明△AME∽△DCE,根据相似三角形的对应边的比相等求得AE的长,延长CF、BM交于H,可以证得△DFC∽△AFH,求得AF的长,根据EF=AF-AE求得k的值,过C作CN⊥BD于N,证明△EDQ∽△CBQ,求得QD的长,即可求解. 【解析】 (1)证明:连接AC,在菱形ABCD中,∵∠BAD=90°, ∴四边形ABCD是正方形. ∴∠PCQ=∠BDC=45°,∠PAC=∠QDC=∠ACD=45° ∴∠ACP+∠ACQ=∠ACQ+∠QCD=45°, ∴∠ACP=∠QCD ∴△APC∽△DQC, ∴==, ∴AP=DQ ∵CD-BP=AP, ∴CD-BP=DQ,即DQ+BP=CD; (2)作∠QCK=∠PCQ,过B作BL∥CK,连接AC. ∵∠QCK=∠ADB, ∴∠CQD=∠CKD ∵CK∥BL, ∴∠CKD=∠BLD, ∴△DLB∽△DQC. ∴DL=DQ, ∴CD+DK=DQ, 又∵四边形APCK对角互补,AC平分∠PAK, ∴△ACP≌△DCK, ∴DK=AP, ∴CD+DK=CD+AP=2CD-BP=DQ; (3)在菱形ABCD中,∠ABD=∠BDC=30° ∵∠PCQ=∠ABD=30°, ∴∠PCQ=∠DCQ. ∵BM∥CD, ∴∠PMC=∠DCQ, ∴△DQC∽△MPC ∴CQ:PM=DC:MC=5:7, ∴BC:MC=5:7. 设BC=5k,则MC=7k,过C作CG⊥AB于G,则∠CGB=90° ∵AD∥BC, ∴∠BAD+∠ABC=180°. ∵∠BAD=120°, ∴∠ABC=60°, ∴BG=k,CG=k. 在Rt△MGC中,MG==k, ∴BM=8k. ∵AB=BC=5k, ∴AM=BM-AB=3k. ∵AM∥CD, ∴∠AMC=∠DCM, ∵∠AEM=∠DEC, ∴△AME∽△DCE, ∴AM:DC=AE:DE. ∴AE=k. 延长CF、BM交于H,则∠DCF=∠MHC ∵FC平分∠ECD, ∴∠ECF=∠DCF, ∴∠MCH=∠MHC, ∴MH=MC=7k, ∴AH=AM+MH=10k. ∵∠HFA=∠CFD, ∴△DFC∽△AFH, ∴DF:AF=DC:AH ∴AF=k,EF=AF-AE=k, ∵EF=k, ∴k=1. ∴DC=5. 过C作CN⊥BD于N, 则∠CND=90°. ∵∠CDN=30°, ∴CN=,ND=; ∵BC=CD, ∴BD=2ND=5; ∵∠DQE=∠BQC,∠CBD=∠EDQ, ∴△EDQ∽△CBQ, ∴ED:BC=DQ:QB, ∴QD=BD, ∴QD=. ∵2CD-BP=DQ, ∴BP=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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