Question

如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，四边形ACDE是平行四边形，连接CE交AD于点F，连接BD交CE于点G，连接BE．下列结论中：
①CE=BD；        ②△ADC是等腰直角三角形；
③∠ADB=∠AEB；  ④CD•AE=EF•CG；
一定正确的结论有（ ）

A．1个
B．2个
C．3个
D．4个

Answer

①利用SAS证明△BAD≌△CAE，可得到CE=BD，
②利用平行四边形的性质可得AE=CD，再结合△ADE是等腰直角三角形可得到△ADC是等腰直角三角形；
③利用SAS证明△BAE≌△BAD可得到∠ADB=∠AEB；
④利用已知得出∠GFD=∠AFE，以及∠GDF+∠GFD=90°，得出∠GCD=∠AEF，进而得出△CGD∽△EAF，得出比例式．
【解析】
①∵∠BAC=∠DAE=90°，
∴∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC，
即：∠BAD=∠CAE，
∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，
∴AB=AC，AE=AD，
∴△BAD≌△CAE（SAS），
∴CE=BD，
∴故①正确；
②∵四边形ACDE是平行四边形，
∴∠EAD=∠ADC=90°，AE=CD，
∵△ADE是等腰直角三角形，
∴AE=AD，
∴AD=CD，
∴△ADC是等腰直角三角形，
∴②正确；
③∵△ADC是等腰直角三角形，
∴∠CAD=45°，
∴∠BAD=90°+45°=135°，
∵∠EAD=∠BAC=90°，∠CAD=45°，
∴∠BAE=360°-90°-90°-45°=135°，
又AB=AB，AD=AE，
∴△BAE≌△BAD（SAS），
∴∠ADB=∠AEB；
故③正确；
④∵△BAD≌△CAE，△BAE≌△BAD，
∴△CAE≌△BAE，
∴∠BEA=∠CAE=∠BDA，
∵∠AEF+∠AFE=90°，
∴∠AFE+∠BEA=90°，
∵∠GFD=∠AFE，∠ADB=∠AEB，
∴∠ADB+∠GFD=90°，
∴∠CGD=90°，
∵∠FAE=90°，∠GCD=∠AEF，
∴△CGD∽△EAF，
∴，
∴CD•AE=EF•CG．
故④正确，
故正确的有4个．
故选D．