Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的面积分别为S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值；
（2）若OA=2.0C=4．问当点E运动到什么位置时．四边形OAEF的面积最大．其最大值为多少？

Answer

（1）设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，根据三角形的面积公式得到S1=S2=k，利用S1+S2=2即可求出k；
（2）设，，利用S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=-+5，根据二次函数的最值问题即可得到当k=4时，四边形OAEF的面积有最大值，S四边形OAEF=5，此时AE=2．
【解析】
（1）∵点E、F在函数y=（x＞0）的图象上，
∴设E（x1，），F（x2，），x1＞0，x2＞0，
∴S1=，S2=，
∵S1+S2=2，
∴=2，
∴k=2；

（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
设，，
∴BE=4-，BF=2-，
∴S△BEF=-k+4，
∵S△OCF=，S矩形OABC=2×4=8，
∴S四边形OAEF=S矩形OABC-S△BEF-S△OCF=+4，
=-+5，
∴当k=4时，S四边形OAEF=5，
∴AE=2．
当点E运动到AB的中点时，四边形OAEF的面积最大，最大值是5．