Question

已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，BC=6．
（1）填空：AB=______；
（2）现有一个⊙O经过点C，且与斜边AB相切于点D，又分别与边AC、BC相交于点E、F．
①若⊙O与边BC相切于点C时，如图1，求出此时⊙O的半径r；
②求⊙O的半径r的变化范围．

Answer

（1）根据正弦的定义得到sinA==，易计算出AB的长为10；
（2）①根据切线长定理得到BD=BC=6，则AD=AB-BD=4，利用勾股定理可计算出AC=8，然后在Rt△OAD中再根据勾股定理可计算出半径r=3；
②作高CD，当CD为⊙O的直径时，r最小，利用面积相等可计算出CD=，则此时r=CD=，并且如图1时，即圆心O在AC上时r最大，于是⊙O的半径r的变化范围为≤r≤3．
【解析】
（1）∵∠C=90°
∴sinA==，
而BC=6，
∴AB=10．
故答案为10；
（2）①如图1，连OD，
∵BC、BA分别与⊙O切于C点、D点，
∴BD=BC=6，
∴AD=AB-BD=4，
在Rt△ABC中，AC==8，
在Rt△OAD中，OA=AC-OC=8-r，AD=4，OD=r，
∵OA2=OD2+DA2，
∴（8-r）2=r2+42，
∴r=3；
②如图3，作高CD，当CD为⊙O的直径时，r最小，
CD•AB=AC•BC，即CD==，
此时r=CD=，
如图1，圆心O在AC上时r最大，
所以⊙O的半径r的变化范围为≤r≤3．