Question

如图1，抛物线y=x²-2x+k与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（0，-3）．[图2、图3为解答备用图]

（1）k=______，点A的坐标为______，点B的坐标为______；
（2）设抛物线y=x²-2x+k的顶点为M，求四边形ABMC的面积；
（3）在x轴下方的抛物线上是否存在一点D，使四边形ABDC的面积最大？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（4）在抛物线y=x²-2x+k上求点Q，使△BCQ是以BC为直角边的直角三角形．

Answer

（1）把C（0，-3）代入抛物线解析式可得k值，令y=0，可得A，B两点的横坐标；
（2）过M点作x轴的垂线，把四边形ABMC分割成两个直角三角形和一个直角梯形，求它们的面积和；
（3）设D（m，m2-2m-3），连接OD，把四边形ABDC的面积分成△AOC，△DOC，△DOB的面积和，求表达式的最大值；（4）有两种可能：B为直角顶点、C为直角顶点，要充分认识△OBC的特殊性，是等腰直角三角形，可以通过解直角三角形求出相关线段的长度．
【解析】
（1）把C（0，-3）代入抛物线解析式y=x2-2x+k中得k=-3
∴y=x2-2x-3，
令y=0，
即x2-2x-3=0，
解得x1=-1，x2=3．
∴A（-1，0），B（3，0）．

（2）∵y=x2-2x-3=（x-1）2-4，
∴抛物线的顶点为M（1，-4），连接OM．
则△AOC的面积=，△MOC的面积=，
△MOB的面积=6，
∴四边形ABMC的面积=△AOC的面积+△MOC的面积+△MOB的面积=9．
说明：也可过点M作抛物线的对称轴，将四边形ABMC的面
积转化为求1个梯形与2个直角三角形面积的和．

（3）如图（2），设D（m，m2-2m-3），连接OD．
则0＜m＜3，m2-2m-3＜0
且△AOC的面积=，△DOC的面积=m，
△DOB的面积=-（m2-2m-3），
∴四边形ABDC的面积=△AOC的面积+△DOC的面积+△DOB的面积
=-m2+m+6
=-（m-）2+．
∴存在点D（，），使四边形ABDC的面积最大为．

（4）有两种情况：
如图（3），过点B作BQ1⊥BC，交抛物线于点Q1、交y轴于点E，连接Q1C．
∵∠CBO=45°，
∴∠EBO=45°，BO=OE=3．
∴点E的坐标为（0，3）．
∴直线BE的解析式为y=-x+3．
由
解得
∴点Q1的坐标为（-2，5）．
如图（4），过点C作CF⊥CB，交抛物线于点Q2、交x轴于点F，连接BQ2．
∵∠CBO=45°，
∴∠CFB=45°，OF=OC=3．
∴点F的坐标为（-3，0）．
∴直线CF的解析式为y=-x-3．
由
解得
∴点Q2的坐标为（1，-4）．
综上，在抛物线上存在点Q1（-2，5）、Q2（1，-4），使△BCQ1、△BCQ2是以BC为直角边的直角三角形．

说明：如图（4），点Q2即抛物线顶点M，直接证明△BCM为直角三角形同样可以．