Question

如图，在⊙S中，AB是直径，AC、BC是弦，D是⊙S外一点，且DC与⊙S相切于点C，连接DS，DB，其中DS交BC于E，交⊙S于F，F为弧BC的中点．
（1）求证：DB=DC；
（2）若AB=10，AC=6，P是线段DS上的动点，设DP长为x，四边形ACDP面积为y．
①求y与x的函数关系式；
②求△PAC周长的最小值，并确定这时x的值．

Answer

（1）根据垂径定理的推论得出SF⊥BC，且E为BC的中点，利用垂直平分线的性质即可即可；
（2）①当DP≠AC时，即x≠6时，四边形ACDP为梯形以及当DP=AC时，即x=6时，四边形ACDP为平行四边形，分别求出即可；
②首先利用当P，A，B三点共线时，PA+PB最小（短），得出最小值即可，再利用Rt△DCS∽Rt△CES，得出CS2=SE×SD，进而求出x的值即可．
【解析】
（1）∵点F为的中点，SF为⊙S的半径，
∴SF⊥BC，且E为BC的中点，
∴DS是BC的中垂线，
∴DB=DC．

（2）①∵AB为⊙S的直径，
∴AC⊥BC，
∴DS∥AC，且BC=，CE=BC=4，
当DP≠AC时，即x≠6时，四边形ACDP为梯形，
此时，；
当DP=AC时，即x=6时，四边形ACDP为平行四边形，
此时，y=AC•CE=24．
②∵DS是BC的中垂线，∴PC=PB，
∵△PAC的周长=AC+PA+PC=6+PA+PC=6+PA+PB，
当P，A，B三点共线时，PA+PB最小（短），
即点P与点S重合时，△PAC的周长最小，最小值=6+10=16，
此时x=DS，连接CS，
∵DC与⊙S相切于点C，∴DC⊥OC，
∴SE=，
∵Rt△DCS∽Rt△CES，
∴CS2=SE×SD，
∴DS=，
∴当x=时，△PAC的周长最小，最小值=6+10=16．