Question

如图1，顶点为B（r，t+6），的抛物线y=ax²+bx+c过点A（0，6），t≠0，连接AB，P是线段AB上的动点，过点P作x轴的垂线（垂足为D），交抛物线y=ax²+bx+c于点C，设点P的横坐标为m，AC、AB、BC围成的图形面积为S，点P，C之间的距离为d，s是m的二次函数，图象如图2所示，Q为顶点，O，E为其与m轴的两个交点．
（1）求s与m的函数关系；
（2）求r的值；
（3）求d与m函数关系式；
（4）求抛物线y=ax²+bx+c的表达式．

Answer

（1）根据2可得出抛物线顶点Q的坐标为（2，4），且过点E（4，0），然后设s=a（m-2）2+4，将点E（4，0）代入，可得出a的值，继而可得出s与m的函数关系式．
（2）根据图1当点P与A或B重合时，s=0，结合图2，s=0时点P的横坐标，可得出点B的横坐标为4，即可得出r的值．
（3）过点A作直线PC，直线x=4的垂线，垂足分别为M，N，且AN=4，然后将a用t表示出来，求出直线AB的解析式，得出点P、点C的坐标，根据PC=d，结合当m=2时，d=2，可得出t的值，继而可得出抛物线的解析式．
【解析】
（1）由图2可知，抛物线的顶点Q（2，4），且过点E（4，0），
设S=a（m-2）2+4，
将点E（4，0）代入得，0=a（4-2）2+4，
解得：a=-1，
故可得：S=-（m-2）2+4．
（2）由图1可知，当点P与A或B重合时，s=0，由图2知，此时点P的横坐标为0或4，
所以点B（4，t+6），从而r=4．
（3）过点A作直线PC，直线x=4的垂线，垂足分别为M，N，且AN=4，
∵S=PC•AM+PC•MN=AN•PC=2PC=2d，
∴d==-（m-2）2+2=-m2+2m．
（4）抛物线y=ax2+bx+c的顶点B（4，t+6），且过A（0，6），
可设抛物线为y=a（x-4）2+t+6，
将A（0，6）代入得：6=16a+t+6，
解得：a=，
所以y=（x-4）2+t+6，
因为直线AB过A（0，6），可设其解析式为y=kx+6，
将B（4，t+6）代入得，t+6=4k+6，解得，k=，所以直线AB：y=tx+6，
因而点P（m，m+6 ），点C（ m，（m-4）2+t+6 ），
PC=d=m+6-[（m-4）2+t+6]=m2-m，
因为当m=2时，d=2，所以×22-×2=2，即解得t=-8，
因而所求抛物线为y=（x-4）2-2．