Question

如图，已知A₁A₂=1，∠OA₁A₂=90°，∠A₁OA₂=30°，以斜边OA₂为直角边作直角三角形，使得∠A₂OA₃=30°，依次以前一个直角三角形的斜边为直角边一直作含30°角的直角三角形，则Rt△A₂₀₁₁OA₂₀₁₂的最小边长为（ ）

A．2²⁰¹⁰
B．2²⁰¹¹
C．
D．

Answer

在直角三角形OA1A2中，利用30°所对的直角边等于斜边的一半得到OA2=2A1A2，由A1A2的长求出OA2的长，在直角三角形OA2A3中，利用锐角三角函数定义得到tan∠A2OA3等于A2A3与OA2的比值，求出A2A3的长，再利用30°所对的直角边等于斜边的一半求出OA3的长，同理求出A3A4的长，以此类推得到直角三角形△A2011OA2012的最小边长A2011A2012即可．
【解析】
在Rt△OA1A2中，A1A2=1，∠OA1A2=90°，∠A1OA2=30°，
∴OA2=2A1A2=2，
在Rt△OA2A3中，OA2=2，∠OA2A3=90°，∠A2OA3=30°，
∴A2A3=OA2tan∠A2OA3=2×=，OA3=2A2A3=，
在Rt△OA3A4中，OA3=，∠OA3A4=90°，∠A3OA4=30°，
∴A3A4=OA3tan∠A3OA4=×==（）2，
以此类推，Rt△A2011OA2012的最小边长A2011A2012=（）2010．
故选C．