Question

如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E．设CD=CB=，AD=9，AB=15．
求∠B的余弦值及AC的长．

Answer

在AB上截取AF=AD，由AC为角平分线得到一对角相等，再由公共边AC，利用SAS可得出三角形ADC与三角形AFC全等，利用全等三角形的对应边相等得到CD=CF，由CD=CB，得到CF=CB，即三角形BCF为等腰三角形，再由CE垂直于BF，利用三线合一得到E为BF的中点，进而由AE-AF求出EF的长，即为EB的长，在三角形CEB中，利用锐角三角形函数定义及BC与EB的长，求出∠B的余弦值，再利用勾股定理求出CE的长，在直角三角形ACE中，由AE与CE的长，利用勾股定理即可求出AC的长．
【解析】
如图，在AB上截取AF=AD，连接CF，
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
在△ADC和△AFC中，
∵，
∴△ADC≌△AFC（SAS），
又∵AD=9，CD=CB=，
∴AF=AD=9，CF=CD=CB=，
∴△CBF是等腰三角形，
又∵CE⊥AB于E，AB=15，
∴EF=EB=BF=（AB-AF）=3，
在Rt△BEC中，cosB===，
在Rt△BEC中，CB=，BE=3，
由勾股定理得：CE==5，
在Rt△AEC中，CE=5，AE=AF+EF=9+3=12，
由勾股定理得：AC==13，
∴∠B的余弦值为，AC的长为13．