Question

如图，在直角坐标系xOy中，以y轴为对称轴的抛物线经过直线与y轴的交点A和点M（，0）．
（1）求这条抛物线所对应的二次函数的解析式；
（2）将这条抛物线沿x轴向右平移，使其经过坐标原点．
①在题目所给的直角坐标系xOy中，画出平移后的抛物线的示意图；
②设平移后的抛物线的对称轴与直线AB（B是直线与x轴的交点）相交于C点，判断以O为圆心、OC为半径的圆与直线AB的位置关系，并说明理由；
（3）P点是平移后的抛物线的对称轴上的点，求P点的坐标，使得以O、A、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形．

Answer

（1）首先求出A点坐标，进而利用顶点式求出二次函数解析式即可；
（2）①将二次函数抛物线向右平移即可；
②首先求出二次函数的对称轴，进而求出对称轴与直线AB的交点，求出OC的长，进而利用三角形面积得出原点O到直线AB的距离d，即可判断出以O为圆心、OC为半径的圆与直线AB的位置关系；
（3）利用平行四边形的性质得出|P-|=2，即可得出P-2=±2，求出P点坐标即可．
【解析】
（1）设x=0，则y=2．∴A（0，2）．
设这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：y=ax2+2．
∵过点M（-，0），∴有a（-）2+2=0．
解得：a=-．
∴所求的这条抛物线所对应的二次函数的解析式为：
y=-x2+2．

（2）①平移后的抛物线如图所示：
②相切．
理由：由题意和平移性质可知，平移后的抛物线的
对称轴为直线x=．
∵C点是对称轴与直线AB的相交，
∴易求得点C的坐标为（，）．
由勾股定理，可求得OC=．
设原点O到直线AB的距离为d，则有 AB•d=AO•BO．
∵点A为（0，2），点B为（2，0），∴AB=4．
4d=2×2．∴d==OC．
这说明，圆心O到直线AB的距离d与⊙O的半径OC相等．
∴以O为圆心、OC为半径的圆与直线AB相切．

（3）设P点的坐标为（，p）．
∵抛物线的对称轴与y轴互相平行，即AO∥PC．
∴只需PC=AO=2，即可使以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形．
由（2）知，点C的坐标为（，），
∴|P-|=2，∴P-2=±2．
解得 P1=，P2=-．
∴P点的坐标为P1（，）或P2（，-）．