Question

如图，已知二次函数的图象经过A（2，0）、B（0，-6）两点．
（1）求这个二次函数的解析式；
（2）设该二次函数图象的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求△ABC的面积；
（3）若抛物线的顶点为D，在y轴上是否存在一点P，使得△PAD的周长最小？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）将点A及点B的坐标代入即可得出b、c的值，继而可得出二次函数解析式；
（2）根据（1）求得的解析式，可得出对称轴，也可得出AC的长度，根据S△ABC=AC×BO可得出答案．
（3）AD长度固定，故只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置，求出直线A'D的函数解析式，可得出点P的坐标．
【解析】
（1）将点A（2，0）、B（0，-6）代入得：，
解得：，
故这个二次函数的解析式为：y=-x2+4x-6．
（2）∵二次函数的解析式为：y=-x2+4x-6，
∴二次函数的对称轴为x=4，即OC=4，
∴AC=2，
故S△ABC=AC×BO=6．
（3）存在，点P的坐标为（0，）．

AD长度固定，只需找到点P使AP+PD最小即可，找到点A关于y轴的对称点A'，连接A'D，则A'D与y轴的交点即是点P的位置，
∵点A'与点A关于y轴对称，
∴点A'的坐标为（-2，0），
又∵顶点D的坐标为（4，2），
∴直线A'D的解析式为：y=x+，
令x=0，则y=，即点P的坐标为（0，）．