Question

在平面直角坐标系中，△AOB的位置如图所示，已知∠AOB=90°，AO=BO，点A的坐标为（-3，1）．
（1）求点B的坐标；
（2）求过A，O，B三点的抛物线的解析式；
（3）设点B关于抛物线的对称轴l的对称点为B₁，求△AB₁B的面积．

Answer

（1）如果过A作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．不难得出△AOC和△BOD全等，那么B的横坐标就是A点纵坐标的绝对值，B的纵坐标就是A点的横坐标的绝对值，由此可得出B的坐标．
（2）已知了A，O的坐标，根据（1）求出的B点的坐标，可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（3）根据（2）的解析式可得出对称轴的解析式，然后根据B点的坐标得出B1的坐标，那么BB1就是三角形的底边，B的纵坐标与A的纵坐标的差的绝对值就是△ABB1的高，由此可求出其面积．
【解析】
（1）作AC⊥x轴，垂足为C，作BD⊥x轴垂足为D．
则∠ACO=∠ODB=90°，
∴∠AOC+∠OAC=90°．
又∵∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°
∴∠OAC=∠BOD．
在△ACO和△ODB中，

∴△ACO≌△ODB（AAS）．
∴OD=AC=1，DB=OC=3．
∴点B的坐标为（1，3）．

（2）因抛物线过原点，
故可设所求抛物线的解析式为y=ax2+bx．
将A（-3，1），B（1，3）两点代入，
得，
解得：a=，b=
故所求抛物线的解析式为y=x2+x．

（3）在抛物线y=x2+x中，对称轴l的方程是x=-=-
点B1是B关于抛物线的对称轴l的对称点，
故B1坐标（-，3）
在△AB1B中，底边B1B=，高的长为2．
故S△AB1B=××2=．