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如图,在平面直角坐标系中,A(-1,0)、B(0,2)且Rt△AOB≌Rt△CD...

如图,在平面直角坐标系中,A(-1,0)、B(0,2)且Rt△AOB≌Rt△CDA,抛物线y=ax2+ax-2经过点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点P是x轴上一点,且PC⊥PB,求P点的坐标;
(3)在抛物线上是否存在两点E、F,使四边形ABEF是正方形?若存在,求点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.

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(1)已知Rt△AOB≌Rt△CDA,因此OB=AD=2,OA=CD=1,据此可求出C点坐标,然后将C点坐标代入抛物线中即可求出二次函数的解析式. (2)连接BC,点P是x轴上一点,则设OP=x,若PC⊥PB则∠CPB=90°,所以三角形BPC是直角三角形,由勾股定理可得PC2+PB2=BC2,求出OP的值进而得到P的坐标; (3)存在,可以AB为边在抛物线的右侧作正方形ABEF,过E作EH⊥y轴,过F作FG垂直x轴于G,不难得出三角形ABO和三角形BHE和三角形AFG都全等,据此可求出E,F的坐标,然后将两点坐标代入抛物线的解析式中即可判断出E、F是否在抛物线上. 【解析】 (1)∵A(-1,0)、B(0,2)且Rt△AOB≌Rt△CDA, ∴OA=1,AD=BO=2, ∴OD=AO+AD=2+1=3, ∵∠D=90°, ∴CD⊥OD ∴CD=1, ∴C点坐标为(-3,1), ∵抛物线经过点C, ∴1=a(-3)2+a(-3)-2, ∴a=, ∴抛物线的解析式为y=x2+x-2; (2)设OP=x, ∵Rt△AOB≌Rt△CDA, ∴∠CAD=∠ABO, ∵∠BAO+∠ABO=90°, ∴∠CAD+∠BAO=90°, ∴∠CAB=90°, ∴△ACB是直角三角形, ∴BC==, ∵PC⊥PB, ∴∠CPB=90°, ∴△BPC是直角三角形, ∴PB2+PC2=BC2, ∵PB2=OP2+BO2,PC2=CD2+DP2, ∴OP2+BO2+CD2+DP2=BC2, 即x2+22+12+(3-x)2=10, 解得:x=1或2, 由题意可知:P在x的负半轴, ∴P的坐标为(-1,0)或(-2,0); (3)存在, 在抛物线上存在点E、F,使四边形ABEF是正方形. 以AB为边在AB的右侧作正方形ABEF,过E作EH⊥OB于H,FG⊥x轴于G,可证△EHB≌△AFG≌△BAO, ∴HE=AG=BO=2,BH=FG=AO=1, ∴E点坐标为(2,1),F点坐标为(1,-1). 由(1)抛物线y=x2+x-2,当x=2时,y=1;当x=1时,y=-1. ∴E、F在抛物线上. 故在抛物线上存在点E(2,1)、F(1,-1),使四边形ABPQ是正方形.
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考点分析:
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为保卫祖国的南海海疆,我人民解放军海军在相距30海里的A、B两地设立观测站(海岸线是过A、B的直线).按国际惯例,海岸线以外12海里范围内均为我国领海,外国船只除特许外,不得私自进入我国领海.某日,观测员发现一外国船只行驶至P处,在A观测站测得∠BAP=60°,同时在B观测站测得∠ABP=45°.问此时是否需要向此未经特许的船只发出警告,命令其退出我国领海?(manfen5.com 满分网

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一、问题背景:
某校九年级(1)班课题学习小组对家庭煤气的使用量做了研究,其实验过程和对数据的处理如下.
仔细观察现在家庭使用的电子打火煤气灶,发现当关着煤气的时候,煤气旋钮(以下简称旋钮)的位置为竖起方向,把这个位置定为0°,煤气开到最大时,位置为90度.(以0°位置作起始边,旋钮和起始边的夹角).在0~90°之间平均分成五等分,代表不同的煤气流量,它们分别是18°,36°,54°,72°,90°,见图1.
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在这些位置上分别以烧开一壶水(3.75升)为标准,记录所需的时间和所用的煤气量.并根据旋钮位置以及烧开一壶水所需时间(用t表示)、所用煤气量(用v表示),计算出不同旋钮位置所代表的煤气流量(用L表示),L=v/t,数据见右表.这样就可以研究煤气流量和烧开一壶水所需时间及用气量之间的关系了.
位置烧开一壶水所需流量
时间(分)煤气量(m3m3/分
18°190.130.0068
36°160.120.0076
54°130.140.0107
72°120.150.0124
90°100.170.0172
二、任务要求:
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1、作图:将下面图2中的直方图补充完整;在图3中作出流量与时间的折线图.
2、填空:①从图2可以看出,烧开-壶水所耗用的最少煤气量为______m2,此时旋钮位置在______
②从图3可以看出,不考虑煤气用量,烧开一壶水所用的最短时间为______分钟,此时旋钮位置在______
3、通过实验,请你对上述结果(用煤气烧水最省时和最省气)作一个简要的说明.
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在一个不透明的袋子里装有除数字以外其它均相同的4个小球,上面分别标有数字1、2、3、4.一人先从袋中随机摸出一个小球,另一人再从袋中剩下的3个小球中随机摸出一个小球.若摸出的两个小球上的数字和为奇数,则小明获胜;否则小亮获胜.
(1)用树状图或列表法求出小明获胜的概率;
(2)你认为这个游戏公平吗?若不公平,请修改游戏规则,使得这个游戏对双方公平.
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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