Question

梯形ABCD中AB∥CD，∠ADC+∠BCD=90°，以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，其面积分别是S₁、S₂、S₃，且S₁+S₃=4S₂，则CD=（ ）

A．2.5AB
B．3AB
C．3.5AB
D．4AB

Answer

过点B作BM∥AD，根据AB∥CD，求证四边形ADMB是平行四边形，再利用∠ADC+∠BCD=90°，求证△MBC为Rt△，再利用勾股定理得出MC2=MB2+BC2，在利用相似三角形面积的比等于相似比的平方求出MC即可．
【解析】
过点B作BM∥AD，
∵AB∥CD，∴四边形ADMB是平行四边形，
∴AB=DM，AD=BM，
又∵∠ADC+∠BCD=90°，
∴∠BMC+∠BCM=90°，即△MBC为Rt△，
∴MC2=MB2+BC2，
∵以AD、AB、BC为斜边向外作等腰直角三角形，
∴△AED∽△ANB，△ANB∽△BFC，
=，=，
即AD2=，BC2=，
∴MC2=MB2+BC2=AD2+BC2=+==，
∵S1+S3=4S2，
∴MC2=4AB2，MC=2AB，
CD=DM+MC=AB+2AB=3AB．
故选B．