Question

如图所示，抛物线y=-x²+2x+3与x轴交于A、B两点，直线BD的函数表达式为，抛物线的对称轴l与直线BD交于点C、与x轴交于点E．
（1）求A、B、C三个点的坐标；
（2）点P为线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），以点A为圆心、以AP为半径的圆弧与线段AC交于点M，以点B为圆心、以BP为半径的圆弧与线段BC交于点N，分别连接AN、BM、MN．
①求证：AN=BM；
②在点P运动的过程中，四边形AMNB的面积有最大值还是有最小值？并求出该最大值或最小值．

Answer

（1）抛物线的解析式中，令y=0，即可求出A、B点的坐标；联立抛物线的对称轴方程及直线BD的解析式即可求出C点的坐标；
（2）①求简单的线段相等，可证线段所在的三角形全等，即证△ABN≌△BCM即可；
②由图知：四边形AMNB的面积为△ABC与△CMN的面积差，等边△ABC的面积易求得，关键是求△CMN的面积；过M作MF⊥CN于F，设AP=AM=m，则可用m表示出CM、BN、CN的长，进而可在Rt△MFC中，根据∠ACB的正弦值求出MF的表达式，由此可得到△CMN的面积，即可求得关于四边形AMNB的面积和m的函数关系式，即可根据函数的性质求出四边形AMNB的最大或最小值．
【解析】
（1）令-x2+2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3，
∴A（-1，0），B（3，0）（2分）
∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4，
∴抛物线的对称轴为直线x=1，
将x=1代入，
得y=2，
∴C（1，2）；（3分）

（2）①在Rt△ACE中，tan∠CAE=，
∴∠CAE=60°，
由抛物线的对称性可知l是线段AB的垂直平分线，
∴AC=BC，
∴△ABC为等边三角形，（4分）
∴AB=BC=AC=4，∠ABC=∠ACB=60°，
又∵AM=AP，BN=BP，
∴BN=CM，
∵在△ABN与△BCM中，
，
∴△ABN≌△BCM（SAS），
∴AN=BM；（5分）
②四边形AMNB的面积有最小值．（6分）
设AP=m，四边形AMNB的面积为S，
由①可知AB=BC=4，BN=CM=BP，S△ABC=×42=，
∴CM=BN=BP=4-m，CN=m，
过M作MF⊥BC，垂足为F
则MF=MC•sin60°=，
∴S△CMN==•=，（7分）
∴S=S△ABC-S△CMN
=-（）
=（8分）
∴m=2时，S取得最小值3．（9分）