Question

如图，一个含45°的三角板HBE的两条直角边与正方形ABCD的两邻边重合，过E点做EF⊥AE交∠DCE的角平分线于F点．AE与CF交于M，HE与CF交于N．
（1）求证：∠DAE=∠BEA，AH=CE；
（2）探究线段HE与CF的数量关系和位置关系，并说明理由．

Answer

（1）根据正方形性质得出AB=BC，AD∥BC，根据平行线性质得出∠DAE=∠BEA，BH=BE和AB=BC相减即可得出AH=CE；
（2）段HE与CF的数量关系是HE=CF，位置关系是HE⊥CF，根据正方形性质得出∠DCE=∠HAD=90°，求出∠HAE=∠FEC=135°，∠FCE=45°=∠H，根据ASA证△HAE≌△CEF，推出HE=CF，∠F=∠HEA，求出∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°，根据三角形的内角和定理求出∠FNE=90°即可．
（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，AD∥BC，
∴∠DAE=∠BEA，
∵△HBE是含45°角的直角三角形，
∴∠H=∠HEB=45°，
∴BH=BE，
∴BH-BA=BE-BC，
∴AH=CE；

（2）【解析】
线段HE与CF的数量关系是HE=CF，位置关系是HE⊥CF，
理由是：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DCE=∠HAD=90°，
∵AE⊥EF，
∴∠AEF=90°=∠HAD，
∵由（1）知∠DAE=∠AEB，
∴∠HAD+∠DAE=∠AEF+∠AEB，
即∠HAE=∠CEF，
∵∠DCE=90°，CF平分∠DCE，
∴∠FCE=45°=∠H，
∵在△HAE和△CEF中
，
∴△HAE≌△CEF，
∴HE=CF，∠F=∠HEA，
∵∠FEH+∠HEA=∠FEH+∠F=90°，
∴∠FNE=180°-90°=90°，
∴HE⊥CF，
即线段HE与CF的数量关系是HE=CF，位置关系是HE⊥CF．