Question

已知抛物线y=ax²+bx+c经过点A（1，），其顶点E的横坐标为2，此抛物线与x轴分别交于B（x₁，0），C（x₂，0）两点，且x₂-x₁=4．
（1）求此抛物线的解析式及顶点坐标；
（2）连接EB、EC，判断△BEC的形状，并说明理由．

Answer

（1）已知了顶点E的横坐标为2，即抛物线的对称轴为x=2，联立B、C的横坐标差，即可求得B、C的坐标，然后将A、B、C三点坐标代入抛物线的解析式中，通过联立方程求出该抛物线的解析式，进而可将x=2代入上式求得顶点E的坐标；
（2）根据B、E、C三点坐标，可求得△BEC三边的长，然后根据它们之间的关系来判断△BEC的形状．
【解析】
（1）∵抛物线顶点横坐标为2，x2-x1=4，
∴x1=0，x2=4，
∴B（0，0），C（4，0），
由于抛物线经过A、B、C三点，则有：
，
解得：，
∴抛物线：，
∵当x=2时，y=2，
∴E（2，2）；

（2）在△EBC中，x=2垂直平分BC，
EB=EC=，BC=4，
而EB2+EC2=16=BC2，
∴△EBC是等腰直角三角形．