Question

如图1，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠ADC=90°，AD=CD=4，BC=3．点M从点D出发以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时，点N从点B出发，以每秒1个单位长度的速度向点C运动．其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．过点N作NP⊥AD于点P，连接AC交NP于点Q，连接MQ．设运动时间为t秒．
（1）填空：AM=______，AP=______．（用含t的代数式表示）
（2）t取何值时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半；
（3）如图2，将△AQM沿AD翻折，得△AKM，是否存在某时刻t，使四边形AQMK为正方形？并说明理由

Answer

（1）由已知AM等于AD（4）减去DM（2t），AP等于AD减去BC再加上BN（1t）
．（2）由已知用t分别表示出梯形ABNM面积和梯形ABCD面积的，根据要求列出关于t的方程求解．
（3）可从四边形AQMK是正方形着手判定，存在，由已知可推出∠KAQ=2∠CAD=90°，所以只要AQ=MQ，即AM=2AP，4-2t=2（1+t）∴t=时，四边形AQMK为正方形．
【解析】
（1）由已知得：AM=4-2t，AP=4-3+t=1+t，
故答案为：4-2t，1+t．

（2）∵梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半
∴（t+4-2t）•4=•（3+4）•4，解得t=，
∴当时，梯形ABNM面积等于梯形ABCD面积的一半，

（3）存在
∵AD=CD，∠ADC=90°∴∠CAD=45°
∵△AQM沿AD翻折，得△AKM∴QM=MK，AQ=AK
∠KAQ=2∠CAD=90°，
要使四边形AQMK为正方形，则AQ=MQ，
∵NP⊥MA∴MP=AP∴AM=2AP，∴4-2t=2（1+t）∴t=，
∴当t=时，四边形AQMK为正方形．