Question

已知抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．
（1）证明抛物线y=ax²-2ax-3a（a＜0）与x轴一定有两个不同的交点；
（2）若抛物线与x轴交于A、B（点A在点B的左侧）求出点A、B的坐标；
（3）过点D作DH⊥y轴于点H，若DH=HC，求直线CD的解析式．

Answer

（1）令ax2-2ax-3a=0，证明出△＞0即可说明抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）一定与x轴有两个不同的交点；
（2）令y=0，得 ax2-2ax-3a=0，根据a≠0，解出一元二次方程，即可得到点A、B的坐标；
（3）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a，求出C点坐标（0，-3a），同理求出D点坐标为（1，-4a），进而证明出DH=HC=-a=1，求出a的值，设直线CD的解析式为y=kx+b，列出k和b的方程组求出k和b，直线CD的解析式即可求出．
（1）证明：令ax2-2ax-3a=0．
∵a＜0，
∴△=（-2a）2-4a•（-3a）=16a2＞0，
∴抛物线y=ax2-2ax-3a（a＜0）与x轴一定有两个不同的交点；

（2）【解析】
令y=0，得 ax2-2ax-3a=0．
∵a≠0，
∴x2-2x+3=0，
解得：x1=-1，x2=3．
∵点A在点B的左侧，
∴点A的坐标（-1，0），点B的坐标（3，0）；

（3）由y=ax2-2ax-3a，令x=0，得y=-3a．
则C（0，-3a）．
又∵y=ax2-2ax-3a=a（x-1）2-4a，
∴D（1，-4a），
∴DH=HC=-4a-（-3a）=-a=1，
∴a=-1，
∴C（0，3），D（1，4），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
把点C，点D的坐标分别代入得：
，
解得．
故直线CD的解析式为：y=x+3．