Question

已知：如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx+b（k＞0，b＞0）与x轴、y轴分别交于点A、B，与双曲线y=相交于C、D两点，且点D的坐标为（1，5），C点的坐标为（p，q），作CE⊥x轴于E，作DF⊥y轴于F，连接EF．
（1）请直接写出m的值：______．
（2）判断△EFC的面积和△EFD的面积是否相等，并说明理由；
（3）若AB=CD时，则AB与OA有何数量关系？并说明理由．

Answer

（1）直接把点D（1，5）代入双曲线y=即可求出m的值；
（2）根据比例函数的性质可求出△EFC的面积和△EFD，故可得出结论；
（3）先根据（2）中的结论判断出四边形ECBF、EADF均为平行四边形，故可得出AE=DF，CE=BF，由全等三角形的判定定理得出△BDF≌△CAE，故BD=AC，由于AB=CD可得出BD=CD，再由相似三角形的判定定理得出△BDF∽△CAE，由相似三角形的对应边成比例即可得出结论．
【解析】
（1）∵点D（1，5）在双曲线y=上，
∴5=，
解得m=5．
故答案为：5；

（2）∵C、D两点在反比例函数y=的图象上，
∴pq=5，
∴S△EFC=（-p）（-q）=pq=，
∵D（1，5），
∴S△EFD=×1×5=，
∴△EFC的面积和△EFD的面积相等；

（3）∵△EFC的面积和△EFD的面积相等，
∴EF∥CD，
∵CE∥BF，AE∥DF，
∴四边形ECBF、EADF均为平行四边形，
∴AE=DF，CE=BF，
在△BDF与△CAE中，
∵，
∴△BDF≌△CAE，
∴BD=AC，
∵AB=CD，
∴BD=CD，
∵DF∥AE，
∴△BDF∽△CAE，
∴=，=，
解得OA=4，
∴=，
∵BF+OB=5，
∴OB=4，
∴△AOB是等腰直角三角形，
∴=cos45°=．