Question

已知x₁，x₂是关于x的方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个实数根．
（1）若x₁+2x₂=3-，求x₁，x₂及k的值；
（2）在（1）的条件下，求-3+2x₁+x₂的值．
（3）若以方程x²-2x+k²-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，求满足条件的m的最小值．

Answer

（1）由x1，x2是关于x的方程x2-2x+k2-4k-1=0的两个实数根可得出x1+x2与x1+2x2组成的方程组，求出x1，x2的值即可，再由x1•x2=k2-4k-1=-1即可求出k的值；
（2）先把-3+2x1+x2化为x1（x12-2x1）-（x12-2x1）+x2的形式，再由（1）中x1，x2是原方程的根求出x12-2x1=1，代入所求代数式进行计算即可；
（3）由x1，x2是原方程的根可得x1•x2=k2-4k-1，再由以方程x2-2x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上可知m=x1•x2=k2-4k-1，故可得出结论．
【解析】
（1）∵x1，x2是关于x的方程x2-2x+k2-4k-1=0的两个实数根，x1+2x2=3-，
∴，
解得，
∵x1•x2=k2-4k-1，
∴k2-4k-1=-1，
∴k1=0，k2=4；

（2）∵-3+2x1+x2
=-2-x12+2x1+x2
=x1（x12-2x1）-（x12-2x1）+x2，
又∵x1，x2是原方程的根，
∴x12-2x1=1，
∴原式=x1-1+x2
=x1+x2-1
=2-1
=1；

（3）∵x1，x2是原方程的根，
∴x1•x2=k2-4k-1，
∵以方程x2-2x+k2-4k-1=0的两个根为横坐标、纵坐标的点恰在反比例函数的图象上，
∴m=x1•x2
=k2-4k-1
=（k-2）2-5，
∴当k=2时，m最小=-5．