Question

如图，对称轴为直线的抛物线经过点A（6，0）和B（0，4）．
（1）求抛物线解析式及顶点D的坐标；
（2）设点E（x，y）是抛物线上位于第四象限内一动点，将△OAE绕OA的中点旋转180°，点E落到点F的位置．求四边形OEAF的面积S与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
①当四边形OEAF的面积为24时，请判断四边形OEAF的形状．
②是否存在点E，使四边形OEAF为正方形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P是x轴上一点，以P、A、D为顶点作平行四边形，该平行四边形的另一顶点在y轴上，请直接写出满足条件的所有点P的坐标．

Answer

（1）已知抛物线的对称轴，可将其解析式设为顶点式，再根据已知的两点坐标由待定系数法确定该二次函数的解析式；进而能得到顶点D的坐标．
（2）将△OAE绕线段OA中点旋转180°后，旋转前后的两个三角形关于点OA的中点对称，所以四边形OEAF是平行四边形，在求该四边形的面积时，只需求出它的一半即△OAE的面积即可，以OA为底、点E的纵坐标的绝对值为高即可得到△OAE的面积表达式，则S、x的函数关系式可求；
①将S=24代入上面的S、x的函数关系式中，先求出点E的坐标，再判断四边形OEAF的形状；
②若四边形OEAF是正方形，那么△OAE必为等腰直角三角形，可据此求出点E的坐标，再代入抛物线的解析式中进行验证即可．
（3）此题需要分两种情况讨论（将平行四边形的另一顶点称作点Q）：
①线段PA为对角线时，先求出DQ的中点，再由P、A关于这个中点对称来得到点P的坐标；
②线段PA为边时，那么DQ必与PA平行，即点Q、D的纵坐标相同，则DQ的长可知，而DQ=PA，可据此求出点P的坐标（注意在点A的左右两侧各有一个）．
【解析】
（1）依题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-）2+h，代入A（6，0）、B（0，4）后，得：
，解得
∴抛物线的解析式：y=（x-）2-，顶点D（，-）．

（2）依题意，知：△OAF≌△AOE，得：OE=AF、AE=OF；
∴四边形OEAF是平形四边形．
∵点E（x，y）在抛物线的图象上，
∴y=（x-）2-；
又∵点E在第四象限，∴y＜0，解得：1＜x＜6；
S=2S△OAE=2••OA•|yE|=6•（-y）=-4（x-）2+25，（1＜x＜6）．
①当S=24时，-4（x-）2+25=24，解得 x1=3、x2=4；
1、当x=3时，E（3，-4），此时OE=AE，四边形OEAF为菱形；
2、当x=4时，E（4，-4），此时OE≠AE，且∠OEA≠90°，∴四边形OEAF只是平行四边形．
②假设四边形OEAF为正方形，则OE=AE，OE⊥AE，已知O（0，0）、A（6，0），则 E（3，-3）；
但此时的点E不在抛物线的图象上，因此不存在符合条件的点E．

（3）设平行四边形的另一顶点为Q，分两种情况讨论：
①当PA为平行四边形的对角线时，另一条对角线DQ的中点为（，0），而P、A关于（，0）对称，那么点P（-，0）；
②当PA为平行四边形的边时，DQ∥PA，且PA=QD=，已知 A（6，0），则 P（，0）或（，0）；
综上，点P的坐标为（-，0）或（，0）或（，0）．