Question

如图，已知抛物线y=-x²+2x+3交轴于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积；
（3）连接AC，在轴上是否存在点P，使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）根据-x2+2x+3=0，解得x1=3、x2=-1，即点A（-1，0），B（3，0），根据抛物线y=-x2+2x+3交y轴于点C，可知当x=0时，y=3，所以C（0，3）
（2）抛物线y=-x2+2x+3的点顶为M，根据顶点公式可知M（1，4），过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，BE=2，OC=3，所以S△BCM=S四边形COBM-S△BOC=3
（3）分情况讨论，共有4个点．
（1）以AC为腰：
①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P1，p2（p1在p2的右侧）
可知P1（，0）P2（-，0），交y轴于一点p5；②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P3，点P3与点A关于y轴对称，则点P3坐标为（1，0），交y轴于两点p6，p7，
（2）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点p4垂足为F，利用△AOC∽△AFP4可求AP4=5，OP4=5-1=4，所以P4（4，0）．
【解析】
（1）∵抛物线y=-x2+2x+3交x轴于A，B两点
∴-x2+2x+3=0，
解得x1=3，x2=-1
∴点A（-1，0），B（3，0）
又∵抛物线y=-x2+2x+3交y轴于点C，
∴点C（0，3）

（2）∵抛物线y=-x2+2x+3的顶点为M
∴x==1
y=
∴M（1，4）
过点M作ME⊥AB于E，则ME=4，OE=1，
∴BE=OB-OE=3-1=2，OC=3
∴S△BCM=S△△BOC=3．

（3）存在点P
1）以AC为腰：
①当以点A为圆心，AC长为半径画弧交x轴于点P1，p2（p1在p2的右侧）
AC==，
∴P1O=，P2O=
∴P1（，0）P2（-，0）
交y轴于p5与C点关于x轴对称，坐标为：（0，-3）
②以点C为圆心，AC为半径画弧交x轴于点P3
∴点P3与点A关于y轴对称，则点P3坐标为（1，0），
交y轴于点p6，p7两点，p6（0，3-），p7（0，3+）
2）以AC为底边：作AC的垂直平分线交x轴于点p4垂足为F，则AF=
∵∠AFP4=∠AOC=90°
∠CAO=∠P4AF
∴△AOC∽△AFP4
∴
∴=
∴AP4=5，
∴OP4=5-1=4，
∴P4（4，0）
∴点P的坐标为：P1（，0）P2（-，0）P3（1，0），P4（4，0），p5（0，-3），p6（0，-3），p7（0，3+）．