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如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿...

如图,在等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9,∠B=45°.动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.
(1)求AB的长;
(2)设BP=x,问当x为何值时△PCQ的面积最大,并求出最大值;
(3)探究:在AB边上是否存在点M,使得四边形PCQM为菱形?请说明理由.

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(1)作AE⊥BC,根据题意可知BE的长度,再根据∠B的正弦值,即可推出AB的长度; (2)作QF⊥BC,根据题意推出BP=CQ,推出CP关于x的表达式,然后根据∠C的正弦值推出高QF关于x的表达式,即可推出面积关于x的二次函数式,最后根据二次函数的最值即可推出x的值; (3)首先假设存在M点,然后根据菱形的性质推出,若存在,则PC=QC,9-x=x,x=,得出矛盾,所以假设是错误的,故AB上不存在M点. 【解析】 (1)作AE⊥BC, ∵等腰梯形ABCD中,AD=4,BC=9, ∴BE=(BC-AD)÷2=2.5, ∵∠B=45°, ∴AB=; (2)作QF⊥BC, ∵等腰梯形ABCD, ∴∠B=∠C=45°,则△CQF是等腰直角三角形. ∵点P和点Q的运动速度、运动时间相同,BP=x, ∴BP=CQ=x, ∵BC=9, ∴CP=9-x,QF=, 设△PQC的面积为y, ∴y=(9-x)•, 即y==-+, ∵AB=,动点P从点B出发沿BC向点C运动,动点Q同时以相同速度从点C出发沿CD向点D运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动.BP=x, ∴0<x≤<, ∴当x=时,△PQC的面积最大,最大值为: S=PC•QF=(9-)× =-; (3)不存在, 若存在,则PC=QC, ∴9-x=x, ∴x=, 而>, ∴边AB上不存在点M,使得四边形PCQM为菱形.
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考点分析:
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请你根据以上提供的信息,解答下列问题:
(1)补全频数分布表和频数分布直方图;
(2)这50个家庭收入的中位数落在______小组;
(3)请你估算该小区600个家庭中收入较低(不足1400元)的家庭个数大约有多少?
分 组频 数频 率
1000~120030.060
1200~1400120.240
1400~1600180.360
1600~18000.200
1800~20005
2000~220020.040
合计501.000


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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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