Question

如图，在平面直角坐标系中，将直线y=x-沿x轴翻折，得到一条新直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将抛物线沿x轴平移，得到一条新抛物线与y轴交点于点C，与直线AB交于点E、F．
（1）求直线AB的解析式；
（2）若线段CF∥x轴，求平移后抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点F在y轴右侧，过F作FH⊥x轴于点G，与直线y=x-交点H．是否存在不过△AFH顶点同时平分△AFH的周长和面积的直线l？若存在，求直线l的解析式；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）设直线AB的解析式是y=kx+b，先求出直线y=-x-与x轴、y轴的交点坐标，根据沿x轴翻折得到A、B的坐标，把A、B的坐标代入直线AB的解析式y=kx+b，即可求得函数的解析式；
（2）设抛物线的顶点为F（h，0），得到抛物线的解析式为y=（x-h）2，根据DF∥x轴，把F的坐标代入直线AB的解析式即可求出h的值，从而求解；
（3）设抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，过M作MT⊥FH于T，得到Rt△MTF∽Rt△AGF，得到FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，设FT=3k，TM=4k，FM=5k，求出FN的值，根据三角形的面积公式求出△MNF和△AFH的面积，根据之间的等量关系即可求出k的值，设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M（，），N（6，-4）代入得到方程组，求出方程组的解即可得到直线l的解析式．
 【解析】
设直线AB的解析式为y=kx+b，直线y=-x-与x轴、y轴的交点坐标分别是（-2，0），（0，-），沿x轴翻折．
∵直线y=-x-，直线AB交于x轴上的同一点（-2，0），B的坐标是（0，），
根据题意得：，
解得：．
则直线AB的解析式是：y=x+；
（2）【解析】
设抛物线的顶点为P（h，0），
抛物线解析式为y=（x-h）2，
则C（0，h2）．
∵CF∥x轴，
∴点F（2h，h2），又点F在直线AB上，
∴h2=（2h）+，
解得：h=3或-（舍去）．
∴抛物线的解析式是y=（x-3）2；

（3）设抛物线上是否存在P、Q两点（点P在点Q的上方），PQ与AF交于点M，与FH交于点N，过M作MT⊥FH于T．
则Rt△MTF∽Rt△AGF．
则FT：TM：FM=FG：GA：FA=3：4：5，
设FT=3k，TM=4k，FM=5k，
则FN=（AH+HF+AF）-FM=16-5k，
则S△MNF=FN•MT=，
∵S△MNF=S△AFH，
∴=24，
解得：k=或2（舍去）．
∴FM=6，FT=，MT=，GN=4，TG=，
∴M（，）、N（6，-4），
∴设直线MN的解析式为：y=kx+b，把M、N的坐标代入得：
，
解得：．
则直线l的解析式为y=-x+4．