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如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D点,E为BC的中...

如图,△ABC中,∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D点,E为BC的中点,连接ED并延长交BA延长线于F点.
(1)求证:直线DE是⊙O的切线;
(2)若AB=manfen5.com 满分网,AD=1,求线段AF的长;
(3)当D为EF的中点时,试探究线段AB与BC之间的数量关系.

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(1)连接BD,DO,则可得∠ODA=∠OAD,结合直径所对的圆周角为90°,可得∠ADB=90°,从而可证明OD⊥DE,也可得出结论. (2)设AF=x,则FD==(切割线定理),在RT△ABD中,求出BD,然后判断△AFD∽△DFB,利用相似三角形的性质可得出关于x的方程,解出即可得出答案; (3)根据切线的性质及直角三角形中斜边中线等于斜边一半可判断出△DEB为等边三角形,然后可得出∠BCD=30°,继而可得出线段AB与BC之间的数量关系. 证明:(1)连接BD,DO, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°,即∠OAD+∠ABD=90°, ∵OD=OA, ∴∠ODA=∠OAD. 又∵∠ADF=∠ABD, ∴∠ADF+∠ODA=90°. 即OD⊥DE. ∴DE是⊙O的切线; (2)设AF=x,则FD==(切割线定理), 在RT△ABD中,BD==2, ∵∠AFD=∠DFB,∠FDA=∠FBD, ∴△AFD∽△DFB, ∴==,即=, 解得:x=,即线段AF的长度为; (3)∵点D为EF中点, ∴BD=FD=DE(斜边中线等于斜边一半), 又∵ED=EB(切线的性质), ∴△EDB为等边三角形, ∴∠DBE=60°,∠BCD=30°, ∴BC=AB;
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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