Question

已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，E是BC的中点，∠BEA=∠DEA，连接AE、BD相交于点F，BD⊥CD．
（1）求证：AE=CD；
（2）求证：四边形ABED是菱形．

Answer

（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得到BE=DE=EC，根据等腰三角形的性质得到EF⊥BD，即EA∥CD，得到平行四边形AECD，即可得到答案；
（2）由（1）知：平行四边形AECD，推出AD=EC，推出AD=BE，根据平行四边形的判定得出平行四边形ABED，再根据菱形的判定即可得出答案．
证明：（1）∵BD⊥CD，
∴∠BDC=90°，
∵E是BC的中点，
∴BE=DE=EC，
∵∠BEA=∠DEA，
∴EF⊥BD，
∴∠BFE=90°，
∴EA∥CD，
∵AD∥BC，
∴四边形AECD是平行四边形，
∴AE=CD．

（2）∵四边形AECD是平行四边形，
∴AD=EC，
∴AD=BE，又AD∥BE，
∴四边形ABED是平行四边形，
∵BE=DE，
∴四边形ABED是菱形．