Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段BC、CD上有动点F、E，点F以每秒2cm的速度，在线段BC上从点B向点C匀速运动；同时点E以每秒1cm的速度，在线段CD上从点C向点D匀速运动．当点F到达点C时，点E同时停止运动．设点F运动的时间为t（秒）．

（1）求AD的长；
（2）设四边形BFED的面积为y，求y 关于t的函数关系式，并写出函数自变量取值范围；
（3）点F、E在运动过程中，如△CEF与△BDC相似，求线段BF的长．
（4）以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D如果相切，直接写出t的值．

Answer

（1）利用勾股定理求出BD的长，再利用cos∠ADB=cos∠CBD=进而求出AD的长即可；
（2）首先用t表示出EH的长以及FC的长，进而利用y=S△BCD-S△CEF得出函数关系即可；
（3）分别利用①如图3，当∠CEF=90°时，②如图4，当∠CFE=90°时，利用相似三角形的性质求出即可；
（4）分别利用当两圆相外切或内切，利用外切时圆心距=r+R，内切时圆心距=R-r，得出答案即可．
【解析】
（1）在Rt△BCD中，CD=6cm，BC=10cm，
所以BD=8cm．
因为AD∥BC，所以∠ADB=∠CBD．
在Rt△BCD中，BD=8cm，cos∠ADB=cos∠CBD==，
所以AD=BDcos∠ADB=8×=（cm）．

（2）如图2，过点E作EH⊥AB，垂足为H．
在Rt△CEH中，CE=t，sin∠C=，
所以EH=CE sin∠C=t．
∵△BCD的面积为24，
∴S△CEF=CF•EH=（10-2t）×t=-t2+4t，
所以y=S△BCD-S△CEF=24-（-t2+4t）=t2-4t+24（0＜t＜5）；

（3）①如图3，当∠CEF=90°时，
∵BD⊥CD，
∴BD∥EF，
∴．
∴．
解得．
此时（cm）．
②如图4，当∠CFE=90°时，
∵∠C=∠C，∠BDC=∠EFC，
∴△EFC∽△BDC，
∴．
所以．
解得．此时（cm）．

（4）如图5，当以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D相外切，
DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
则BD=BF+DE=2t+6-t=8，
解得：t=2（秒）．
当以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D相内切，
DE=DC-EC=6-t，BF=2t，
则BD=BF-DE=2t-（6-t）=8，
解得：t=（秒）．
故当t的值为2秒与秒时，以BF为半径的圆B与以DE为半径的圆D相切．