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如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD.顺次连接四边形ABCD各...

如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8且AC⊥BD.顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1;再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2…如此进行下去得到四边形AnBnCnDn
(1)证明:四边形A1B1C1D1是矩形;
(2)写出四边形A1B1C1D1和四边形A2B2C2D2的面积;
(3)写出四边形AnBnCnDn的面积;
(4)求四边形A5B5C5D5的周长.

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(1)由A1D1分别是△ABD的中位线,B1C1是△CBD的中位线知,A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD,故四边形A1B1C1D1是平行四边形,由AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1知,四边形A1B1C1D1是矩形; (2)由三角形的中位线的性质知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3,故矩形A1B1C1D1的面积为12,可以得到故四边形A2B2C2D2的面积是A1B1C1D1的面积的一半,为6; (3)由三角形的中位线的性质可以推得,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半,故四边形AnBnCnDn的面积为; (4)由相似图形的面积比等于相似比的平方可得到矩形A5B5C5D5的边长,再求得它的周长. (1)证明:∵点A1,D1分别是AB、AD的中点, ∴A1D1是△ABD的中位线 ∴A1D1∥BD,A1D1=BD, 同理:B1C1∥BD,B1C1=BD ∴A1D1∥B1C1,A1D1=B1C1=BD ∴四边形A1B1C1D1是平行四边形. ∵AC⊥BD,AC∥A1B1,BD∥A1D1, ∴A1B1⊥A1D1即∠B1A1D1=90° ∴四边形A1B1C1D1是矩形; (2)【解析】 由三角形的中位线的性质知,B1C1=BD=4,B1A1=AC=3, 得:四边形A1B1C1D1的面积为12;四边形A2B2C2D2的面积为6; (3)【解析】 由三角形的中位线的性质可以推得,每得到一次四边形,它的面积变为原来的一半, 故四边形AnBnCnDn的面积为; (4)【解析】 方法一:由(1)得矩形A1B1C1D1的长为4,宽为3. ∵矩形A5B5C5D5∽矩形A1B1C1D1 ∴可设矩形A5B5C5D5的长为4x,宽为3x,则, 解得 ∴ ∴矩形A5B5C5D5的周长= 方法二:矩形A5B5C5D5的面积/矩形A1B1C1D1的面积 =(矩形A5B5C5D5的周长)2/(矩形A1B1C1D1的周长)2 即:12=(矩形A5B5C5D5的周长)2:142 ∴矩形A5B5C5D5的周长=.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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