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已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其...

已知:二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且A点坐标为(-6,0).
(1)求此二次函数的表达式;
(2)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(3)在(2)的基础上试说明S是否存在最大值?若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.

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(1)通过解方程x2-10x+16=0得到二次函数图象上的点B、C的坐标,再结合A的坐标,利用待定系数法求出函数解析式; (2)用m表述出AE、BE的长,长出△BEF∽△BAC,再利用相似三角形的性质得到比例式=,求出EF的表达式,利用sin∠FEG=sin∠CAB=得到=,求出FG的表达式,再根据S=S△BCE-S△BFE 求S与m之间的函数关系,m的值不超过AB的长. (3)将S=-m2+4配方为S=-(m-4)2+8,求出S的最大值,进而判断出此时△BCE的形状. 【解析】 (1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8. ∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC, ∴A、B、C三点的坐标分别是A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8), ∵点C(0,8)在二次函数y=ax2+bx+c的图象上, ∴c=8. 将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式y=ax2+bx+8,得 , ∴所求二次函数的表达式为y=-x2-x+8. (2)∵AB=8,OC=8,依题意,AE=m,则BE=8-m, ∵OA=6,OC=8, ∴AC=10. ∵EF∥AC, ∴△BEF∽△BAC. ∴=. 即=. ∴EF=. 过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB=. ∴=. ∴FG=•=8-m. ∴S=S△BCE-S△BFE =(8-m)×8-(8-m)(8-m) =(8-m)(8-8+m) =(8-m)m =-m2+4m. 自变量m的取值范围是0<m<8. (3)存在. 理由如下: ∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8,且-<0, ∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8. ∵m=4, ∴点E的坐标为(-2,0). ∴△BCE为等腰三角形.
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考点分析:
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试题属性
  • 题型:解答题
  • 难度:中等

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