Question

已知：二次函数y=ax²+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，线段OB、OC的长（OB＜OC）是方程x²-10x+16=0的两个根，且A点坐标为（-6，0）．
（1）求此二次函数的表达式；
（2）若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点B不重合），过点E作EF∥AC交BC于点F，连接CE，设AE的长为m，△CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；
（3）在（2）的基础上试说明S是否存在最大值？若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时△BCE的形状；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）通过解方程x2-10x+16=0得到二次函数图象上的点B、C的坐标，再结合A的坐标，利用待定系数法求出函数解析式；
（2）用m表述出AE、BE的长，长出△BEF∽△BAC，再利用相似三角形的性质得到比例式=，求出EF的表达式，利用sin∠FEG=sin∠CAB=得到=，求出FG的表达式，再根据S=S△BCE-S△BFE
求S与m之间的函数关系，m的值不超过AB的长．
（3）将S=-m2+4配方为S=-（m-4）2+8，求出S的最大值，进而判断出此时△BCE的形状．
【解析】
（1）解方程x2-10x+16=0得x1=2，x2=8．
∵点B在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，且OB＜OC，
∴A、B、C三点的坐标分别是A（-6，0）、B（2，0）、C（0，8），
∵点C（0，8）在二次函数y=ax2+bx+c的图象上，
∴c=8．
将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式y=ax2+bx+8，得
，
∴所求二次函数的表达式为y=-x2-x+8．
（2）∵AB=8，OC=8，依题意，AE=m，则BE=8-m，
∵OA=6，OC=8，
∴AC=10．
∵EF∥AC，
∴△BEF∽△BAC．
∴=．
即=．
∴EF=．
过点F作FG⊥AB，垂足为G，则sin∠FEG=sin∠CAB=．
∴=．
∴FG=•=8-m．
∴S=S△BCE-S△BFE
=（8-m）×8-（8-m）（8-m）
=（8-m）（8-8+m）
=（8-m）m
=-m2+4m．
自变量m的取值范围是0＜m＜8．
（3）存在．
理由如下：
∵S=-m2+4m=-（m-4）2+8，且-＜0，
∴当m=4时，S有最大值，S最大值=8．
∵m=4，
∴点E的坐标为（-2，0）．
∴△BCE为等腰三角形．