Question

如图，在平面直角坐标系中，点P从原点出发，沿x轴向右以每秒2个单位长的速度运动t（t＞0）秒，抛物线y=-x²+bx+c经过原点O和点P，顶点为M．矩形ABCD的一边CD在x轴上，点C与原点重合，CD=4，BC=9，在点P运动的同时，矩形ABCD沿x轴向右以每秒1个单位长的速度运动．
（1）求出抛物线的解析式（用含t的代数式表示）；
（2）若（1）中的抛物线经过矩形区域ABCD（含边界）时，求出t的取值范围；
（3）当t=4秒时，过线段MP上一动点F作y轴的平行线交抛物线于E，求线段EF的最大值．

Answer

（1）分别将点（0，0），（2t，0）代入二次函数解析式，即可得出抛物线的解析式；
（2）寻找两个临界点，①刚开始的时候，②抛物线经过点A的时候，分别求出此时t的值，继而可得出t的取值范围；
（3）先确定函数解析式，然后得出直线MP的解析式，设出点E、F的坐标，则EF之间的距离可表示为二次函数的形式，然后运用配方法求最值即可．
【解析】
（1）把x=0，y=0代入y=-x2+bx+c中，得c=0，
再把x=2t，y=0代入y=-x2+bx中，得b=2t
故抛物线的解析式为y=-x2+2tx．

（2）∵t＞0，
∴在点P和矩形ABCD开始运动时就经过矩形区域ABCD，
当抛物线经过点A时，将A（t+4，9）代入y=-x2+2tx中，得-（t+4）2+2t（t+4）=9，
整理，解方程得：t1=-5（舍去），t2=5，
即可得当t＞5时，抛物线不在经过矩形区域ABCD，
综上可得t的范围为：0＜t≤5，

（3）如图，当t=4秒时，此时点D和点P重合，抛物线的解析式为y=-x2+8x．
设直线MP的解析式为y=kx+b，
∵点M（4，16）和点P（8，0）在直线MP上，
∴，
得，
∴直线MP的解析式为y=-4x+32；
设F（m，-4m+32），则E（m，-m2+8m），
∵点F在线段MP上运动，
∴4≤m≤8，
∴EF=-m2+8m-（-4m+32）=-m2+12m-32，
∴当m=-=6时，EF=，
∴线段EF的最大值是4．