Question

如图，已知⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，D是AB延长线的一点，AE⊥CD交DC的延长线于E，CF⊥AB于F，且CE=CF．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若AB=6，BD=3，求AE和BC的长．

Answer

要证DE是⊙O的切线，只要连接OC，再证∠DCO=90°即可．
证明：（1）连接OC；
∵AE⊥CD，CF⊥AB，又CE=CF，
∴∠1=∠2．
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，∠1=∠3．
∴OC∥AE．
∴OC⊥CD．
∴DE是⊙O的切线．

（2）∵AB=6，
∴OB=OC=AB=3．
在Rt△OCD中，OD=OB+BD=6，OC=3，
∴∠D=30°，∠COD=60°．
在Rt△ADE中，AD=AB+BD=9，
∴AE=AD=．
在△OBC中，∵∠COD=60°，OB=OC，
∴BC=OB=3．