Question

电瓶厂投资2000万元安装了电动自行车电瓶流水线，生产的电瓶成本为40元/只，设销售单价为x元（100≤x≤250），年销售量为y万件，年获利为w（万元）．经过市场调研发现：当x=100元时，y=20万件．当100＜x≤200元时，x在100元的基础上每增加1元，y将减少0.1万件；当200＜x≤250元时，x在200元的基础上每增加1元，y将减少0.2万件．（年获利=年销售额-生产成本-投资）
（1）当x=180时，w=______万元；当x=240时，y=______万件；
（2）求y与x的函数关系式；
（3）当x为何值时，第一年的年获利亏损最少？

Answer

（1）根据：当x=180时，年获利w=（180-40）×销售量-投资2000万元，销售量=[20-（180-100）×0.1]，求w的值，当x=240时，先求当x=200时，销售量为10万件，再求当x=240时的销售量；
（2）①当100＜x≤200时，根据（1）销售量的求法列出函数式，②当200＜x≤300时，先求当x=200时，销售量为10万件，再求出此时销售量的函数关系式；
（3）根据售价分段：①100＜x≤200，②200＜x≤250，由（2）找出对应的销售量，再根据：年获利w=（x-40）×销售量-投资2000万元，分别列出函数关系式，利用二次函数的性质求最小值．
【解析】
（1）当x=180时，w=（180-40）×[20-（180-100）×0.1]-2000=-320万元；
当x=200时，销售量为[20-（200-100）×0.1]=10万件，
当x=240时，y=[10-（240-200）×0.2]=2万件；
故答案为：-320万元、2万件；

（2）①当100＜x≤200时，y=20-0.1（x-100）=-0.1x+30，
②当200＜x≤300时，y=10-0.2（x-200）=-0.2x+50，
（先把x=200代入y=-0.1x+30得y=10）；

（3）①当100＜x≤200时，w=（x-40）（-0.1x+30）-2000=-0.1x2+34x-3200=-0.1（x-170）2-310，
当x=170时，w最大值=-310                  
②当200＜x≤250时，w=（x-40）（-0.2x+50）-2000=-0.2x2+58x-4000=-0.2（x-145）2+205，
∴对称轴是直线x=145，
∵-0.2＜0，200＜x≤250，
∴在200＜x≤250时，w随x的增大而减小，
∵x=200时，w=-400，
∴w最大值＜-400，
∴综合①、②可知，当x=170元时，w最大值=-310万元．