Question

已知平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-（a+1）x与直线y=kx的一个公共点为A（4，8）．
（1）求此抛物线和直线的解析式；
（2）若点P在线段OA上，过点P作y轴的平行线交（1）中抛物线于点Q，求线段PQ长度的最大值；
（3）记（1）中抛物线的顶点为M，点N在此抛物线上，若四边形AOMN恰好是梯形，求点N的坐标及梯形AOMN的面积．

Answer

（1）由待定系数法可得出k和a；
（2）设点P的坐标为（t，2t），则可得点Q的坐标，从而求出PQ，再根据二次函数的最值问题得出最大长度；
（3）易求得点M的坐标，过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，则四边形AOMN为梯形．由平移的性质可得出直线MN的解析式，再由点M在直线MN上，求得点N的坐标．再用割补法和面积的求法得出答案．
【解析】
（1）由题意，可得8=16a-4（a+1）及8=4k，
解得a=1，k=2，
所以，抛物线的解析式为y=x2-2x，直线的解析式为y=2x．（2分）

（2）设点P的坐标为（t，2t）（0≤t≤4），可得点Q的坐标为（t，t2-2t），
则PQ=2t-（t2-2t）=4t-t2=-（t-2）2+4，
所以，当t=2时，PQ的长度取得最大值为4．（4分）

（3）易知点M的坐标为（1，-1）．过点M作直线OA的平行线交抛物线于点N，如图所示，四边形AOMN为梯形．直线MN可看成是由直线OA向下平移b个单位得到，所以直线MN的方程为y=2x-b．因为点M在直线y=2x-b上，解得b=3，即直线MN的方程为y=2x-3，将其代入y=x2-2x，可得2x-3=x2-2x
即x2-4x+3=0
解得x1=1，x2=3
易得y1=-1，y2=3
所以，直线MN与抛物线的交点N的坐标为（3，3）．（5分）
如图，分别过点M、N作y轴的平行线交直线OA于点G、H，
显然四边形MNHG是平行四边形．可得点G（1，2），H（3，6）．

S□MNHG=（3-1）×NH=2×3=6
所以，梯形AOMN的面积S梯形AOMN=S△OMG+S□MNHG+S△ANH=9．（7分）