Question

如图，已知△ABC是等边三角形，边长为10，点D、E、F分别在边AB、BC、AC上，且AD=BE=CF，
（1）设AD为x，△ADF的面积为y，当x为何值时，△ADF的面积最大，最大面积是多少？
（2）当x为何值时，△ADF是直角三角形？

Answer

（1）过F作AB的垂线，垂足为H，可得FH=AF×sin60°=（10-x）×，△ADF的面积为y=-+5x，根据二次函数的最值公式，即可求出当x为何值时，△ADF的面积最大值；
（2）①△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，则FD2+AD2=AF2，②△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，则FD2+AF2=AD2，根据勾股定理列方程，解答出即可．
【解析】
（1）∵AD为x，AD=BE=CF，
∴AF=10-x，
过F作AB的垂线，垂足为H，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=60°，则FH=AF×sin60°=（10-x）×，
∴y=（10-x）×=-+x，
∴x=-==5，
y===，
综上，当x=5，△ADF的面积最大，最大面积是；

（2）①如果△ADF是直角三角形，令∠ADF是直角，根据勾股定理的逆定理得：FD2+AD2=AF2，
则+x2=（10-x）2，
解得：x1=-10（舍去），x2=；
②如果△ADF是直角三角形，令∠AFD是直角，根据勾股定理的逆定理得：FD2+AF2=AD2，
则+（10-x）2=x2，
解得，x1=20（舍去），x2=；
综上，当x=或时，△ADF是直角三角形．