Question

如图，已知抛物线y=x²+x+2交x轴于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标．
（2）若点M为抛物线的顶点，连接BC、CM、BM，求△BCM的面积．
（3）连接AC，在x轴上是否存在点P使△ACP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer

（1）令y=0求A、B两点横坐标，令x=0求C点纵坐标；
（2）由抛物线顶点坐标公式求M点坐标，过M作MN垂直y轴于N，根据S△BCM=SOBMN-S△OBC-S△MNC求△BCM的面积；
（3）根据AC为腰，AC为底两种情况求P点坐标．当AC为腰时，分为A为等腰三角形的顶点，C为等腰三角形的顶点，两种情况求P点坐标；当AC为底时，作线段AC的垂直平分线交x轴于P点，利用三角形相似求OP．
【解析】
（1）令x2+x+2=0，解得x1=-1，x2=5．
令x=0，则y=2，
所以A、B、C的坐标分别是A（-1，0）、B（5，0）、C（0，2）；

（2）顶点M的坐标是M（2，）．
过M作MN垂直y轴于N，
所以S△BCM=SOBMN-S△OBC-S△MNC
=（2+5）×-×5×2-×（-2）×2
=6；

（3）当以AC为腰时，在x轴上有两个点分别为P1，P2，易求AC=，
则0P1=1+，OP2=-1，
所以P1，P2的坐标分别是P1（-1-，0），P2（-1，0）；
当以AC为底时，作AC的垂直平分线交x轴于P3，交y轴于F，垂足为E，
CE=，
易证△CEF∽△COA，
所以，
所以，
CF=，OF=OC-CF=2-=，
EF===．
又∵△CEF∽△P3OF，
所以，，
求得OP3=
则P3的坐标为P3（，0）．
AC=PC，则P4（1，0）．
所以存在P1、P2、P3、P4四个点，它们的坐标分别是P1（-1-，0）、P2（-1，0）、P3（，0）、P4（1，0）．