Question

孔明是一个喜欢探究钻研的同学，他在和同学们一起研究某条抛物线y=ax²（a＜0）的性质时，将一把直角三角板的直角顶点置于平面直角坐标系的原点O，两直角边与该抛物线交于A、B两点，请解答以下问题：
（1）若测得（如图1），求a的值；
（2）对同一条抛物线，孔明将三角板绕点O旋转到如图2所示位置时，过B作BF⊥x轴于点F，测得OF=1，写出此时点B的坐标，并求点A的横坐标______；
（3）对该抛物线，孔明将三角板绕点O旋转任意角度时惊奇地发现，交点A、B的连线段总经过一个固定的点，试说明理由并求出该点的坐标．

Answer

（1）先求出B点坐标，代入抛物线y=ax2（a＜0）得a的值；
（2）过点A作AE⊥x轴于点E，可证△AEO∽△OFB，得出AE=2OE，可得方程点A的横坐标．
（3）设A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根据相似三角形的性质可知交点A、B的连线段总经过一个固定的点（0，-2）．
【解析】
（1）设线段AB与y轴的交点为C，由抛物线的对称性可得C为AB中点，
∵，∠AOB=90°，
∴AC=OC=BC=2，
∴B（2，-2），
将B（2，-2）代入抛物线y=ax2（a＜0）得，．

（2）解法一：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，），
∴．
又∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
又∵∠AEO=∠OFB=90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴，
∴AE=2OE，
设点A（-m，）（m＞0），则OE=m，
，
∴，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．

解法二：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，），
∴，
∵∠AOB=90°，易知∠AOE=∠OBF，
∴，
∴AE=2OE，
设点A（-m，）（m＞0），
则OE=m，，
∴，
∴m=4，即点A的横坐标为-4．

解法三：过点A作AE⊥x轴于点E，
∵点B的横坐标为1，
∴B（1，），
设A（-m，）（m＞0），
则，，，
∵∠AOB=90°
∴AB2=OA2+OB2，
∴（1+m）2+（-+m2）2=+m2+m4，
解得：m=4，即点A的横坐标为-4．

（3）解法一：设A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
设直线AB的解析式为：y=kx+b，则，
（1）×n+（2）×m得，，
∴（8分）
又易知△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴mn=4，
∴．
由此可知不论k为何值，直线AB恒过点（0，-2）．
（说明：写出定点C的坐标就给2分）

解法二：∵点A是抛物线y=-x2上的点，
∴设A（-m，）（m＞0），B（n，）（n＞0），
直线AB与y轴的交点为C，根据S△AOB=S梯形ABFE-S△AOE-S△B0F=S△AOC+S△BOC，
可得，
化简，得．
又易知△AEO∽△OFB，
∴，
∴，
∴mn=4，
∴OC=2为固定值．故直线AB恒过其与y轴的交点C（0，-2），
说明：mn的值也可以通过以下方法求得．
由前可知，，，，
由OA2+OB2=AB2，得：，
化简，得mn=4．
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