Question

如图，AB、ED是⊙O的直径，点C在ED延长线上，且∠CBD=∠FAB．点F在⊙O上，且AB⊥DF．连接AD并延长交BC于点G．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）求证：BD•BC=BE•CD；
（3）若⊙O 的半径为r，BC=3r，求tan∠CDG的值．

Answer

（1）欲证BC是⊙O的切线，只需证明BC⊥AB即可；
（2）根据相似三角形（△BDC∽△EBC）的对应边成比例知=，即BD•BC=BE•CD；
（3）根据题意，推出OC和CD的长度，然后通过求证△DCG∽△BCD，即可推出DG：BD的值，即∠DBG的正切值，由∠DBG=∠CDG，即可推出∠CDG的正切值．
（1）证明：∵AB是⊙O的直径，AB⊥DF，
∴=，
∴∠FAB=∠DAB；
又∵∠CBD=∠FAB，
又∵∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角），
∴∠DAB+∠DBA=∠CBD+∠DBA=90°，
∴BC⊥AB，
∴BC是⊙O的切线；

（2）证明：由（1）知，∠DBC=∠BAD．
∵∠BED=∠BAD（同弧所对的圆周角相等），即∠BEC=∠BAD，
∴∠DBC=∠BEC；
又∵∠BCD=∠ECB（公共角），
∴△BDC∽△EBC．
∴=，
∴BD•BC=BE•CD；

（3）【解析】
∵⊙O 的半径为r，BC=3r，
∴AB=2r，
∴=；
又由（1）知，BC⊥AB，
∴OC==r，
∴CD=（-1）r；
∵AO=DO（⊙O的半径），
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵∠CBD=∠BAD，∠ADO=∠CDG（对顶角相等），
∴∠CDG=∠DBG，
∴△DCG∽△BCD，
∴===
∵tan∠DBG==，
∴tan∠CDG=．