Question

已知，在△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE，在射线AB上截取线段BD，连接DE，DE所在直线交直线BC于点M．
（1）如图1，当点E在线段AC上时，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论．
（2）如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE，则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．
（3）如图3，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=mBD，（m＞1），请直接写出线段MD与线段ME的数量关系．

Answer

（1）DM=EM；过点E作EF∥AB交BC于点F，然后利用平行线的性质和已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（2）成立；过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质与已知条件可以证明△DBM≌△EFM，接着利用全等三角形的性质即可证明题目的结论；
（3）．过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，然后利用平行线的性质和已知条件得到△DBM∽△EFM，接着利用相似三角形的性质即可得到结论；
（1）DM=EM；（1分）
证明：过点E作EF∥AB交BC于点F，（2分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，
∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．（4分）

（2）成立；（5分）
证明：过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，（6分）
∵AB=AC，∴∠ABC=∠C；
又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，
∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．
又∵BD=EC，∴EF=BD．
又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．
在△DBM和△EFM中
∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；（8分）
（3）过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，
∴△DBM∽△EFM，
∴BD：EF=DM：ME，
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C，
∵∠F=∠ABC，
∴∠F=∠C，
∴EF=EC，
∴BD：EC=DM：ME=1：m，
∴．（10分）