Question

已知：如图1，抛物线y=-x²+bx+c的顶点为Q，与x轴交于A（-1，0）、B（5，0）两点，与y轴交于C点．
（1）求抛物线的解析式及其顶点Q的坐标；
（2）在该抛物线的对称轴上求一点P，使得△PAC的周长最小．请在图中画出点P的位置，并求点P的坐标；
（3）如图2，若点D是第一象限抛物线上的一个动点，过D作DE⊥x轴，垂足为E．
①有一个同学说：“在第一象限抛物线上的所有点中，抛物线的顶点Q与x轴相距最远，所以当点D运动至点Q时，折线D-E-O的长度最长”．这个同学的说法正确吗？请说明理由．
②若DE与直线BC交于点F．试探究：四边形DCEB能否为平行四边形？若能，请直接写出点D的坐标；若不能，请简要说明理由；

Answer

（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=-x2+bx+c中即可确定b、c的值，然后配方后即可确定其顶点坐标；
（2）连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．求得C点的坐标后然后确定直线BC的解析式，最后求得其与x=1与直线BC的交点坐标即为点P的坐标；
（3）①设D（t，-t2+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，求得L的最大值后与当点D与Q重合时相比较即可得到答案；
②假设四边形DCEB为平行四边形，则可得到EF=DF，CF=BF．然后根据DE∥y轴求得DF，得到DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，从而否定是平行四边形．
【解析】
（1）将A（-1，0）、B（5，0）分别代入y=-x2+bx+c中，
得，得∴y=-x2+4x+5．
∵y=-x2+4x+5=-（x-2）2+9，∴Q（2，9）．
（2）如图1，连接BC，交对称轴于点P，连接AP、AC．
∵AC长为定值，∴要使△PAC的周长最小，只需PA+PC最小．
∵点A关于对称轴x=1的对称点是点B（5，0），抛物线y=-x2+4x+5与y轴交点C的坐标为（0，5）．
∴由几何知识可知，PA+PC=PB+PC为最小．
设直线BC的解析式为y=kx+5，将B（5，0）代入5k+5=0，得k=-1，
∴y=-x+5，∴当x=2时，y=3，∴点P的坐标为（2，3）．
（3）①这个同学的说法不正确．
∵设D（t，-t2+4t+5），设折线D-E-O的长度为L，则，
∵a＜0，∴当时，．
而当点D与Q重合时，，
∴该该同学的说法不正确．
②四边形DCEB不能为平行四边形．
如图2，若四边形DCEB为平行四边形，则EF=DF，CF=BF．
∵DE∥y轴，∴，即OE=BE=2.5．
当xF=2.5时，yF=-2.5+5=2.5，即EF=2.5；
当xD=2.5时，，即DE=8.75．
∴DF=DE-EF=8.75-2.5=6.25＞2.5．即DF＞EF，这与EF=DF相矛盾，
∴四边形DCEB不能为平行四边形．